📖 工程原型：叠板弹簧 汽车钢板弹簧故意做成「不黏结的叠板」：多条板叠放近似等强度悬臂（第 6 章 6.6 的思想），层间允许微滑并涂润滑脂——既让各板分层承力，又在颠簸冲击时用层间摩擦耗能缓冲，坏一条换一条，维护便宜。代价正是例题 1 算过的：同样的承载，叠板比等截面整体梁应力高、变形大。工程没有免费的午餐，只有划算的交换。
🎯 本章学习目标
- 理解弯曲切应力是怎么产生的，以及它与正应力的区别。
- 掌握矩形截面切应力公式及其抛物线分布。
- 理解工字形截面的切应力分布特点。
- 会做切应力强度校核，知道何时需要校核。
- 了解切应力互等定理在弯曲中的体现。
- 理解剪力流 q=τb 的概念，能解释翼缘-腹板交界处切应力的突变与剪力流的连续。
- 会用 σ/τ=2l/h 这类比值判据，判断一根梁由弯曲还是剪切控制。
7.1弯曲切应力从哪来
回顾第 5 章：梁受横力弯曲时，截面上同时有剪力 Q 和弯矩 M。弯矩产生正应力（第 6 章），剪力则产生切应力 τ。
一个直观类比：把梁想象成一摞叠起来的薄木板（像一沓扑克牌）。梁被弯起来时，如果各层之间没有黏结，它们会相对滑动——上层的两端会往外滑、下层往里滑。真实的梁是一个整体，各层之间有「摩擦力」般的黏结力阻止这种相对滑动，这个黏结力就是切应力。
所以切应力的物理本质是：抵抗梁内部各层之间的相对错动。剪力大（荷载重、梁短而粗）时，切应力就显著；剪力小（梁细长）时，切应力相对正应力可忽略。
核心思想 梁里同时有正应力（弯矩引起，拉压）和切应力（剪力引起，错动）。二者方向不同、来源不同，分别由 M 和 Q 决定。判断梁安不安全，两种应力都要看。
两类应力像两种体检指标，本章先把对照表摆全，后面每节都在往这张表里填空：
| 维度 | 弯曲正应力 σ | 弯曲切应力 τ |
|---|---|---|
| 来源 | 弯矩 M | 剪力 Q |
| 作用方式 | 顺着梁轴拉／压，作用在横截面上 | 竖向错动＋层间纵向错动（互等） |
| 沿梁长 | 与 M 图同形 | 与 Q 图同形 |
| 截面内分布 | 线性：边缘最大、中性轴为零 | 抛物线：中性轴最大、边缘为零 |
| 危险点 | M 极值截面的上下边缘 | Q 极值截面的中性轴处 |
| 典型失效 | 下缘拉裂（脆性）／屈服（塑性） | 顺纹错动（木材）、腹板斜裂（薄钢） |
| 公式 | σ=M/W | τ=Q·S*/(Iz·b) |
速记一句：σ 查「弯矩极值截面的边缘」，τ 查「剪力极值截面的中性轴」——位置由内力图与分布规律共同定，不能背成死地点（荷载一变，极值就挪窝）。
把两种应力的「作用面」再分清楚：正应力作用在横截面上、方向顺着梁轴（拉或压）；切应力则有两副面孔——横截面上竖向错动的 τ竖，和层间顺着梁轴方向错动的 τ纵。第 4 章的切应力互等定理在这里兑现：过同一点、互相垂直的两个面上，切应力大小相等、方向共同指向或背离棱边。所以公式算出的 τ 既是「截面竖着错」的应力，也是「层间横着错」的应力——推导走「层间」那条路（更好平衡），结论用「截面」那副面孔（配合剪力 Q）。
📐 例题 1 叠梁与整体梁：切应力的「黏结」价值
两根相同的矩形木条（b=100 mm、h=20 mm、[σ]=10 MPa），简支、跨中受集中力。比较两种用法：① 上下自由叠放（层间无黏结）；② 黏结成一根 100×40 的整体梁。同一弯矩下两种用法的最大弯曲正应力差多少？各自按 [σ] 能承受多大弯矩？
思路 叠放时层间切应力传不过去，没有「组合作用」——每层各绕自己的中性轴弯曲，各担一半弯矩；整体梁绕总截面中性轴弯曲。
解 (1) 整体梁：Iz=100×40³/12=533 333 mm⁴，W=100×40²/6=26 667 mm³，σ=M/W=M/26 667。
(2) 叠梁：每层 W=100×20²/6=6 667 mm³，各担 M/2 → σ=(M/2)/6 667=M/13 333——同一弯矩下应力是整体梁的 2 倍；等效惯性矩只有 2×66 667=133 333 mm⁴，是整体梁的 1/4，弯曲刚度随之降为 1/4（挠度大 4 倍，第 9 章定量）。
(3) 许可弯矩：整体 [M]=W·[σ]=26 667×10=2.67×10⁵ N·mm=0.267 kN·m；叠梁 [M]=2×(6 667×10)=0.133 kN·m——只有一半。
(4) 差别的根源：整体梁上、下层由腹部的切应力「缝」成一体，边缘纤维的力臂翻倍；叠梁这层「缝」不存在，等于两根细梁各干各的。
答：叠放比整体应力翻倍（M/13 333 对 M/26 667）、许可弯矩减半、刚度降为 1/4。 ⚠ 易错点：① 叠梁各层绕自己截面的形心轴弯，不是绕总截面形心——这与第 6 章 T 形「组合截面」的本质区别；② 判别标志是「层间能否传递切应力」——铆接、焊接、胶接的叠层有组合作用，仅靠摩擦或自重的没有。
最后记一句「图形语言」：等截面直梁上，τ(x)=Q(x)·S*/(Iz·b)——截面给定后，切应力沿梁长的分布图与剪力图同形，只差一个系数。第 6 章说过「σ 图与 M 图同形」，本章补上另一半：「τ 图与 Q 图同形」。于是第 5 章画的两张内力图，到这里全部翻译成了应力强度地图：找 σmax 看 M 图极值，找 τmax 看 Q 图极值——而且两个极值往往不在同一截面（跨中与支座旁）。
最后记一组「量级感」：细长木梁的 τmax 常在零点几兆帕、σmax 常在十兆帕上下——两种应力差一到两个数量级；钢梁腹板的 τ 可达几十兆帕，但仍普遍比其 σ 低一个量级。所以工程上的默认姿态是「弯曲说了算，剪切补一刀」，本章讲的正是这「一刀」什么时候会变成主刀。
例题 1 的「无黏结」在工程上也有对应的「有黏结」家族：桥梁的铆接／栓接钢板梁靠铆钉群传递层间剪力，把多层钢板组成一根整体梁（铆钉群设计用的正是「层间剪力流」）；胶合木梁（Glulam）用结构胶把数十层木片压成一体，层间抗剪由胶缝保证。判别标准仍是那一条：层间能不能把切应力传过去。
7.2矩形截面切应力：抛物线分布
矩形截面（宽 b、高 h）上的切应力，沿高度是抛物线分布，中间最大、上下边缘为零。这又是为什么？我们从「水平切应力」入手推导。
先看「错动」在宏观上长什么样。纯弯时相邻横截面只相对转动，矩形网格变成扇形、网格线仍两两垂直；有剪力时截面之间还要相对错动——梁上的小方格被剪成菱形，原来 90° 的直角变成 γ 度，这个 γ 就是第 4 章定义过的切应变，τ 与 γ 通过剪切胡克定律 τ=Gγ 相连（G 是切变模量）。所以切应力不只关系到强度，还额外贡献变形——只是细长梁里它贡献的挠度是次要项，第 9 章会给结论。
由切应力互等定理（第 4 章），截面上的竖直切应力，必然伴随水平方向的切应力。切应力公式的推导思路是：从梁里取一个水平方向的微段，看它左右两端正应力之差（因为弯矩沿梁长变化，正应力也沿梁长变化），这个「正应力差」需要靠水平切应力来平衡。
把茹拉夫斯基（D. I. Zhuravskii）的推导走完整。在距中性轴 y 处沿水平方向切出一个纵向微块（长 dx、宽 b、厚取所求层），它的左、右两端各贴着一个横截面：左端弯矩 M，右端 M+dM。两端面正应力的合力各为 N₁=M·S*/Iz、N₂=(M+dM)·S*/Iz（S* 是「过所求点水平线以下面积」对中性轴的静矩）。M 沿梁长变化，N₂≠N₁，微块沿轴向「合不上力」；堵住这个缺口的是顶面上的水平切应力 τ′，合力 τ′·b·dx：
微块平衡给出 τ′·b·dx=dM·S*/Iz，即 τ′=dM·S*/(Iz·b·dx)；第 5 章微分关系 dM/dx=Q 一代入，得到：
微块的两种切法 想算中性轴以下的点，切「下块」、用其顶面的 τ′；想算以上的点，切「上块」、用其底面。两种切法经切应力互等定理殊途同归：同一点的 τ 唯一。推导里 τ′ 是水平方向的，靠互等定理它也等于竖直方向的 τ——公式算出的 τ 才能直接与剪力 Q 配对。
推导结果是：
τ = Q·Sz* / (Iz·b)
其中：
- Q：该截面上的剪力；
- Iz：整个截面对中性轴的惯性矩（第 6 章学过）；
- b：所求点的截面宽度；
- Sz*：静矩，是「所求点以上（或以下）那部分面积」对中性轴的静矩（面积 × 该部分形心到中性轴的距离）。
为什么是抛物线？ 看 Sz*：它是「某高度以上那部分面积 × 其形心到中性轴距离」。在截面最上缘，上面「没有面积」了，Sz*=0，所以 τ=0；越往中间，上面累积的面积越大，Sz* 越大；到中性轴处，Sz* 达到最大（半截面），τ 也达到最大。计算表明 Sz* 随高度按二次函数变化，所以 τ 是抛物线——中间最大、两头为零。
对矩形截面，把 Iz=bh³/12、Sz* 的表达式代入并取最大值（中性轴处），得到最大切应力：
τmax = 3Q / (2bh) = 3Q / (2A)
即矩形截面最大切应力是平均切应力 Q/A 的 1.5 倍，出现在中性轴处。
🧠 一句话记忆 矩形截面切应力 抛物线分布，中间最大、边缘为零，最大 τmax=3Q/2A。注意和正应力正好相反：正应力是「中间零、边缘大」，切应力是「中间大、边缘零」。
用公式时留三个心眼：① S* 取「所求点以上」或「以下」的面积算都行——两块面积互补，对形心轴的静矩大小相等、只差正负，结果一致；② b 取过所求点处的截面宽度——矩形处处是 b，工字形在腹板里取腹板厚、在翼缘里取翼缘宽（下节细说）；③ S* 的量纲是 mm³，别与惯性矩 mm⁴ 混——本页例题里「S*/I」合起来乘 Q 正好消成应力单位。
顺带把公式「验平」一下，还能白捡两个结论：沿全截面积分 ∫τ·dA=Q（切应力合力就是剪力，天经地义）；于是「平均切应力」τavg=Q/A，而抛物线峰值恰是均值的 1.5 倍——「3Q/2A」不是背出来的，是分布形状决定的。不同截面的峰值/均值比不一样，列表备查：
| 截面 | τ_max 位置 | τ_max/τ_avg | 附注 |
|---|---|---|---|
| 矩形 | 中性轴 | 1.5 | 精确抛物线分布 |
| 圆形 | 中性轴（合成） | 4/3 ≈ 1.33 | 截面上切应力方向各点不同，按竖向分量合成 |
| 薄壁工字形（看腹板） | 中性轴附近 | ≈ 1.05~1.2 | 腹板内分布很「平」，近似 τ≈Q/A_web |
这也预告了趋势：截面材料越向腹板集中，切应力分布越平坦、近似公式越准。
再用一次「拆变量」的眼光读公式：τ=Q·S*/(Iz·b) 里，Q 管大小，S*/(Iz·b) 管形状——形状归几何、大小归内力。抛物线的胖瘦只由截面形状决定，Q 只是整体乘数：Q 翻倍，曲线整体抬高翻倍、顶点位置不动。所以画 τ 分布图永远分两步——先画「形状」（几何定死），再标「高度」（Q 定标）。另注意 τ 与 b 成反比：材料宽度窄的地方切应力就高——这句话已经预告了下一节工字形腹板的故事。
矩形公式的前提 茹拉夫斯基公式对矩形成立，靠一个假设：切应力沿截面宽度方向均布（各条竖向「纤维」错动量相同）。宽高比 b/h 不太大（一般 ≲2）时假设很准；一旦梁「宽得像板」（b/h 很大），两自由边附近的切应力会明显低于中部，均布假设失真，要按板的弯曲切应力专门处理。本教材例题都在均布假设的适用区内。
表里圆形的 4/3 也交代下来历：圆截面上各点切应力方向并不都竖直——它顺着截面边界「拐弯」，只有中性轴上的点才恰竖直。把各点切应力沿竖向分解、沿宽度均布假设后再积分，得 τmax=4Q/(3A)（中性轴处）。1.33 介于矩形 1.5 与薄壁工字约 1.1 之间——截面越「腹板化」，分布越平，与表中趋势一致。
📐 例题 2 矩形木梁切应力：与第 6 章接力
第 6 章例题 1 的 75×150 矩形木梁（简支 l=3 m、跨中 F=6 kN）。(1) 原 75×150 截面的最大切应力；(2) 距中性轴 y=h/4 处的切应力；(3) 若按弯曲要求改用 75×190，切应力变为多少？(4) 算 σmax/τmax，判断该梁由哪种应力控制。
思路 Qmax=F/2=3 kN 在支座旁截面；矩形 τmax=3Q/2A，任意深度按抛物线比例 τ(y)=τmax·[1−(2y/h)²]（等价写法 τ(y)=1.5τavg·[1−(2y/h)²]）。
解 (1) τmax=3×3 000/(2×11 250)=0.4 MPa（中性轴处，支座旁截面）。
(2) y=h/4：(2y/h)²=(1/2)²=0.25，τ=1.5×(3 000/11 250)×0.75=0.3 MPa=0.75τmax——抛物线的标准比例，与手画分布图自洽。
(3) 改 75×190：A=14 250 mm²，τmax=3×3 000/(2×14 250)=0.316 MPa——加高顺便也降了切应力（A 变大），但降幅远不如 σ 的 1/h² 来得猛。
(4) 比值：σmax/τmax=9.97/0.316=31.6=2l/h（通式推导见下节判据）。而木材许用值之比 [σ]/[τ]=10/1.1≈9.1——正应力利用率 99.7%，切应力利用率 0.316/1.1=29%：弯曲控制，切应力绰绰有余。
答：τmax=0.4 MPa（150 高）/0.316 MPa（190 高）；y=h/4 处 0.3 MPa；σ/τ=2l/h=31.6，弯曲是主要矛盾。 ⚠ 易错点：① τmax 在支座旁截面的中性轴处、σmax 在跨中截面的边缘——两个危险点不同截面、不同位置，要分别校核；② 别把「边缘弯、中间剪」记成「跨中弯、支座剪」的固定搭配——位置由内力图定，不是由截面定。
顺手把抛物线的「比例标尺」定下来，以后画分布图不用逐点算：中性轴 τ=1.5τavg，y=h/4 处 τ=1.125τavg（峰值的 75%），边缘 τ=0——三点比值 1.5 : 1.125 : 0。例题 2 的 0.4 与 0.3 MPa 正是这个比例。反过来，已知峰值也能口算任意深度：τ(y)=τmax·[1−(2y/h)²]，两个数画整条曲线。
再从分布图上读出一层设计含义：σ 用的是上下边缘的材料（那里 σ 最大、τ 为零），τ 用的是中性轴附近的材料（那里 τ 最大、σ 为零）——同一个截面里两种应力「错峰值班」，没有任何一块材料同时被两者用到极限。这解释了两件事：实心矩形截面其实并不「浪费」（对短粗梁它没有废料）；而把中性轴附近材料抠掉换来的工字形，对细长梁几乎无损抗剪——因为细长梁的剪力本来就小。
📐 例题 3 切应力的三类问题：许可荷载
仍用 75×150 的矩形木梁（[σ]=10 MPa、[τ]=1.1 MPa，简支 l=3 m、跨中集中力）。按切应力条件算许可荷载 [F]，并与弯曲的 [F]=3.75 kN（第 6 章）比较。
思路 三类问题（校核、选截面、许可荷载）在切应力上同样成立：由 τmax=3Q/2A≤[τ] 解出 [Q]，再换算成 [F]。
解 [Q]=2A[τ]/3=2×11 250×1.1/3=8 250 N。跨中集中力下 Qmax=F/2 → [F]剪=2×8 250=16.5 kN；而弯曲给 [F]弯=3.75 kN。取小者：梁的许可荷载由弯曲控制，[F]=3.75 kN。
(3) 两把尺子对比：剪切许可 16.5 kN 是弯曲许可的 4.4 倍——同一根细长梁，切应力「余量大得多」，这就是「先正应力、后切应力」流程的定量依据。
答：[F]剪=16.5 kN＞[F]弯=3.75 kN，许可荷载 3.75 kN，弯曲控制。 ⚠ 易错点：① 许可荷载取两种应力结果的较小者；② 换算时盯住 Q 与 F 的关系（跨中集中力 Q=F/2，全跨均布 Qmax=ql/2，各不相同）；③ 三类问题的次序与第 6 章完全平行——多练一次就多熟一分。
把两类校核的「三类问题」并排放好，复习时一眼对照：校核——算出 σ、τ 与 [σ]、[τ] 比；选截面——由弯曲定 W（或 A），再由剪切复核；许可荷载——分别解出 [F]弯、[F]剪，取小者。例题 3 走的是第三类，前两类第 6 章与例题 5 已各自演过——三张考卷，一套公式。
7.3工字形截面切应力
工字形截面是工程最常用的受弯截面，它的切应力分布分两部分：
- 腹板（中间竖着的薄板）承担了绝大部分剪力，切应力近似沿腹板高度呈抛物线分布，最大值仍在中性轴附近；
- 翼缘（上下横板）主要承担正应力（抗弯），切应力很小，可以忽略。
分工协作 工字形截面完美体现了第 6 章的「合理截面」思想：翼缘远离中性轴，专管抗弯（正应力）；腹板在中间，专管抗剪（切应力）。各司其职，所以既省料又高效。计算时常用近似：最大切应力 ≈ Q / (腹板面积)。
给一组工程数字感受轻重：吊车梁某截面的剪力可达 500 kN，若腹板取 10×500 mm，τ≈Q/Aweb=500 000/5 000=100 MPa——已达许用切应力的七八成。对这类「剪力大梁」，腹板厚度由切应力与局部稳定共同控制，不能随手构造取值；而普通楼面梁 Q 只有几十 kN，腹板几乎永远由构造要求（最小厚度、宽厚比限值）说了算。同一根工字钢，剪力一大一小，设计逻辑就分出两条路。
这也解释了一个常见事故：工字梁如果腹板太薄，会先在腹板处发生「剪切破坏」，斜着裂开——因为腹板处的切应力最大。
📐 例题 4 工字形截面切应力：精确公式 vs 近似公式
第 6 章例题 3 的焊接工字形梁（翼缘 2×100×20、腹板 8×160，Iz=35 264 000 mm⁴），某截面剪力 Q=40 kN。(1) 腹板最大切应力，与近似式 τ≈Q/Aweb 对比；(2) 翼缘-腹板交界处腹板侧与翼缘侧的竖向切应力；(3) 腹板承担总剪力的百分之几？
思路 τ=QS*/(I·b)，b 取过所求点处的宽度：腹板内 b=8，翼缘内 b=100；S* 从所求点以上面积累计（翼缘块+半块腹板）。
解 (1) 中性轴处：S*=翼缘块 100×20×90=180 000，加半腹板 8×80×40=25 600 → S*=205 600 mm³；τmax=40 000×205 600/(35 264 000×8)=29.2 MPa。近似式：τ≈Q/Aweb=40 000/(8×160)=31.3 MPa，偏大 7.2%——只会保守、不会漏检。
(2) 交界处：S*=180 000 mm³。腹板侧 τ=40 000×180 000/(35 264 000×8)=25.5 MPa；翼缘侧 τ=40 000×180 000/(35 264 000×100)=2.04 MPa——同一条线上两个值，下一段解释为什么都对。
(3) 把 τ 沿腹板高度积分：Vweb=Q·∫S*(y)dy/I≈0.894Q——腹板只占截面面积的 24.2%，却扛了 89.4% 的剪力。
答：τmax=29.2 MPa（近似 31.3，偏保守 7.2%）；交界处腹板侧 25.5、翼缘侧 2.04；腹板承剪 89.4%。 ⚠ 易错点：① 近似式把腹板的抛物线「压平」成矩形，永远略偏大，适合快速估算与复核；② S* 用「以上面积」累计时，交界线上的点把整块翼缘算进去，别漏；③ 翼缘竖向切应力虽小（2 MPa 级），但翼缘真正的差事在抗弯和传水平剪力流，不是扛竖剪。另记一笔稳定账：切应力合格只解决「够不够硬」，腹板宽厚比超限时还会局部屈曲，加劲肋该上就上。
交界处「25.5 对 2.04」不是笔误，是剪力流在说话。定义剪力流 q=τ·b，代入公式：q=Q·S*/I——与宽度无关。交界线上：腹板侧 q=25.5×8=204 N/mm，翼缘侧 q=2.04×100=204 N/mm，严丝合缝。宽度突变处 τ 突变、q 连续，就像河道收窄：流速（τ）加快、流量（q）不变。把整根工字钢的 q 沿截面走一圈：剪力从上翼缘两侧尖端「汇入」腹板、顺腹板下行、再从下翼缘尖端「流出」——薄壁截面内 q 连成一条没有缺口的水路，这就是「剪力流」一词的来历。它是薄壁杆件切应力走向的总规则，也是今后确定「弯心」位置的基础。
翼缘里的剪力流还能定量算。例题 4 的截面上，距翼缘左尖 s 处的水平切应力：S*=20×s×90=1 800s mm³（尖端到 s 的窄条对中性轴的静矩），q=Q·S*/I=40 000×1 800s/35 264 000≈2.04s N/mm——从尖端的 0 线性涨到翼缘根部的 204 N/mm，与交界线处腹板侧的流量严丝合缝。同一股流量：两侧翼缘尖端汇入、沿腹板下行、再从下翼缘流出，全截面 q 的「水路」一笔画成。这也解释了为什么描述薄壁截面用「剪力流」比「切应力」更顺——流量沿路径连续可算，τ=q/b 则要看每处的板厚。
再往外多看一眼：闭合薄壁截面（箱形、圆管）的剪力流绕截面闭合成环，材料「围」起来后抗剪、抗扭都高效——箱形梁的刚度远大于开口截面（槽钢、角钢），这是桥梁与起重机臂多用箱形的原因之一；开口截面的剪力流有「开口」，载荷不通过「剪心」就会扭，那是后话。记住方向即可：薄壁看 q，实心看 τ，两者一本账。
为什么腹板近似式敢用 例题 4 里腹板 τ 从交界 25.5 到中性轴 29.2 MPa，「波动幅度」只有约 ±7%——因为腹板段的 S* 从 180 000 只涨到 205 600 mm³，变化 13%，τ 又被 S*/b 拉平。分布这么平，把抛物线「压平」成矩形（均值 27 MPa 上下）误差自然小，这就是 τ≈Q/Aweb 好用又保守的几何根源。
工程上用型钢表时，轧制工字钢规格表直接给出 Ix/Sx 的比值，τmax=Q/(I/S) 一步到位，连 S* 都不用自己算。手工焊接截面（如例题 4）则老老实实累加 S*：先翼缘块、再半腹板，两笔加完。设计口诀延续本章近似：τ≈Q/Aweb 粗估，Q·S*/(I·b) 精算。
手工累计 S* 的口诀：「从外向里，一块一笔」——从截面顶端往所求点走，每跨过一块矩形面积记一笔 S*=Ai·di（Ai 为块面积，di 为该块形心到中性轴的距离），累加即得。例题 4 中性轴处的 205 600 mm³ 正是两笔：翼缘块 180 000＋半腹板 25 600。复合截面再复杂也只是笔数变多，套路不变——与第 6 章算 Iz 的「分块＋移轴」完全同构，两套账可以并排记。
还有一层工程现实：腹板切应力大不等于只会「剪坏」，更常见的病是局部失稳——薄腹板在压应力与切应力联手下会像被捏的易拉罐壁一样鼓出波浪形褶皱。所以钢梁的腹板常焊上加劲肋（竖向小条板）提高稳定。强度算「够不够硬」，稳定算「会不会瘪」，两条线都通了梁才算设计完。
7.4切应力强度校核
切应力强度条件：
τmax = Qmax·Sz* / (Iz·b) ≤ [τ]
但并不是每根梁都要校核切应力。关键判断：
📖 什么时候必须校核切应力？ 对细长梁（跨度远大于截面高度），最大正应力通常远大于最大切应力，只要正应力校核通过，切应力一般自动满足，不必单算。但在三种情况下必须校核切应力：① 短粗梁（跨度短、截面高，剪力相对大）；② 腹板薄的工字梁；③ 木材等抗剪能力弱的材料（顺纹抗剪很弱）。
顺序上，一般先用正应力强度条件定截面尺寸，再用切应力强度条件复核——因为正应力通常是主要矛盾，切应力是「补一刀」的检查。
🧠 一句话记忆 正应力是「主角」（先算），切应力是「配角」（复核）。短粗梁、薄腹板、弱抗剪材料，三类情况必须查切应力。
把 story 里的三类必查情形配上「病因」：短粗梁——l/h 小，比值 σ/τ=2l/h 被压小，切应力追了上来；薄腹板——b 小直接抬高 τ=QS*/(I·b)，且薄板还伴随局部失稳风险；弱抗剪材料——[τ]/[σ] 低，容不得切应力占便宜。再补两条：④ 荷载紧邻支座——集中力离支座很近时几乎全变成剪力、弯矩被小力臂压住，例如梁上吊挂点距支座 100 mm 的情形，Q 很大而 M 很小；⑤ 支座附近的连接区——栓接、搭接面恰好落在最大剪力区，螺栓群与焊缝按剪力设计（连接件设计是结构课程的专门话题）。
「什么时候切应力说了算」可以算成一条判据。矩形简支梁跨中受集中力：σ/τ=2l/h（例题 2 已验证 31.6=2×3000/190）。两种应力的利用率之比 =（σ/[σ]）÷（τ/[τ]）= 2l/h·[τ]/[σ]，利用率相等对应的临界长高比：l/h = [σ]/(2[τ])。代入数字：木梁 [σ]=10、[τ]=1.1 → 临界 l/h≈4.5，比这更矮胖的木梁一律剪切控制（例题 5 的 l/h=2.6 正在此列）；钢梁 [σ]=120、[τ]=70 → 临界 l/h≈0.9，现实中不存在——所以钢梁几乎永远弯曲控制，除非腹板过薄或荷载紧邻支座。一句口诀：「比值看 2l/h，门槛看 [σ]/[τ]」。
注意 2l/h 这个比值是「简支梁＋跨中集中力＋矩形截面」的专属答案，换荷载要重推：全跨均布时 M/Q=ql/4，σ/τ=l/h（小一半）；悬臂自由端集中力时 M/Q=l，σ/τ=4l/h（翻倍）。通式是 σ/τ=(Mmax/Qmax)·(4/h)，比值的核心只随「力臂比」M/Q 变化。所以严谨的做法永远是：从内力图取实际的 Mmax/Qmax，乘 4/h 得 σ/τ，再与 [σ]/[τ] 对照——把 2l/h 当例题结论记，别当万能公式背。
📐 例题 5 短粗木梁：弯曲选完剪切翻车
短粗简支木梁 b=120 mm，跨度 l=0.6 m，跨中受 F=40 kN。木材 [σ]=10 MPa、[τ]=1.1 MPa。按「先弯曲定尺寸、再剪切复核」的流程选截面高度 h，并算出这根梁到底由谁控制。
思路 Mmax=Fl/4、Qmax=F/2 都不小，但跨度极短把 σ/τ=2l/h 压到个位数——切应力翻身的机会来了。弯曲公式定 h，剪切公式复核，翻车就加大 h 重来。
解 (1) Mmax=40×0.6/4=6 kN·m=6×10⁶ N·mm；Qmax=20 kN。
(2) 弯曲选截面：W≥M/[σ]=6×10⁵ mm³ → 120h²/6≥6×10⁵ → h≥173.2，取 h=180：σ=6×10⁶/(120×180²/6)=9.26 MPa ✓。
(3) 剪切复核：τmax=3Q/(2A)=3×20 000/(2×21 600)=1.39 MPa＞[τ]=1.1 ✗——弯曲过关，剪切翻车，方案作废。
(4) 由剪切定尺寸：A≥3Q/(2[τ])=60 000/2.2=27 273 mm² → h≥227.3，取 h=230：τ=60 000/(2×27 600)=1.09 MPa ✓；回代弯曲 σ=6×10⁶/(120×230²/6)=5.67 MPa ✓，双关。
(5) 定性：l/h=600/230=2.6。此时 2l/h≈5.2，而木材 [σ]/[τ]≈9.1——比值账上切应力「追近」许用值，剪切成了主要矛盾；加大 h 对 σ∝1/h² 见效快、对 τ∝1/h 见效慢，所以剪切一旦控制，弯曲自然富余（5.67 对 10）。
答：弯曲初选 h=180（σ=9.26 ✓）但剪切 1.39＞1.1 翻车；改 120×230 双关（τ=1.09、σ=5.67）。l/h=2.6 的短粗木梁由剪切控制。 ⚠ 易错点：① 只做弯曲校核就交卷是本题埋的坑；② 翻车后加大 h 两项指标都改善，但改善速度不同（σ∝1/h²、τ∝1/h），别指望只补弯曲；③ 木材顺纹 [τ]/[σ]≈1/9，比钢（≈1/1.7）脆弱一个量级——木枕木、楼梯小梁常沿中性层剪裂，就是这条比的现场证据。
切应力校核四步走，与第 6 章的弯曲校核一一对应：
- 画 Q 图，找 Qmax 及其所在截面（多支座、集中力旁多看几处）；
- 算截面量：整截面 Iz、过所求点的 S*、该处宽度 b——轧制型钢直接查表用 I/S 比值；
- 代公式：τ=QS*/(I·b)；工字钢腹板用 τmax=Q/(I/S)，或快速估算 τ≈Q/Aweb；
- 对照 [τ] 判断：不满足则加大截面（h 或腹板厚度）或改材料，再回代弯曲复核一遍。
木梁的剪切破坏在现场有鲜明「指纹」：裂纹常出现在支座附近、沿中性层水平开展（顺纹抗剪最弱，τ 最大又恰好在中性层），或从支座内缘斜向发展（那里除剪应力外，支座反力还造成横纹挤压，木材横纹承压同样弱）。工程对策三件套：支座下垫钢板分散压应力、梁端托接加长支承、限制支座附近开孔开槽。一句话——木材的剪切敏感区就在支座旁的中性层附近，构造上要绕着它走。
再补一笔设计取舍：例题 5 保持 b=120 只加高 h——但剪切公式 τ=3Q/(2A) 对 b、h 一视同仁（都只进 A 一次方），弯曲公式却只认 h²。于是两种加大策略各有脾气：加 h，弯曲改善快（σ∝1/h²）、剪切改善慢（τ∝1/h）；加 b，两项都按一次方改善。剪切控制的梁，加 b 有时比加 h 更对症——截面高度受限的楼盖小梁、枕木宁可放宽不让加高；弯曲控制的梁则加 h 最高效。选哪条路取决于谁是主要矛盾——又一次「先找主要矛盾，再对症下药」。
最后把梁的设计流程串成一句话，给两章一个接口：弯曲定截面（W=I/y 出场）→ 切应力复核（本题 τ 出场，翻车则加大或加劲）→ 变形验算（第 9 章挠度出场）→ 稳定与构造（加劲肋、侧向支承收尾）。每一步都拿「内力图极值」当路标：M 图找 σ、Q 图找 τ——第 5 章的两张图，至此全部变成了设计依据。
边缘切应力为零的「第二条路」：7.2 节用 S*=0 算出矩形上、下边缘 τ=0；其实还能「看」出来——梁的顶面、底面是自由表面，上面没有切应力作用，由切应力互等定理（第 4 章），与它相垂直的横截面在边缘处的切应力也必为零。公式路线与边界路线殊途同归。第二条路在薄壁截面上更有用：凡是与空气接触的边界，切应力只能沿壁面方向流动、不能垂直穿出——7.3 节翼缘里剪力流「贴壁而流」的图像由此而来。
剪力流的工程账单：焊缝与钉距：组合梁的翼缘与腹板之间，靠焊缝（或铆钉、螺栓）把水平剪力流接过去。例题 4 交界处的 q=Q·S*翼缘/Iz≈204 N/mm，就是焊缝「每毫米长度要转手」的力——腹板两侧各一条焊缝时，每条承担约 102 N/mm，焊缝尺寸就按它选。铆接、栓接梁同理：一段钉距 p 内要转手的水平剪力为 q·p，单钉抗剪能力不得小于它——钉距由此反算。第 3 章的实用计算在这里与本章的剪力流接上了头：一个问「每颗钉算多少力」，一个问「每毫米流多少力」。
把切应力装回全书地图：第 3 章给材料的 τ=Gγ（构件层面用名义应力兜底）；第 4 章给第一种精确分布 τ=Tρ/Ip（扭转，只需极对称）；本章给第二种 τ=QS*/(Iz·b)（弯曲，要逐点累计静矩）——一步比一步更依赖截面几何细节。下一章转入弯曲变形计算，EIz 将以「抗弯刚度」的身份接管最后一道校核；再往后，又弯又扭的组合构件（第 10 章）会把本章的弯曲应力与第 4 章的扭转应力在同一截面上叠加。会从地图上找工具，比背下三个公式更值钱。
本章小结
- 弯曲切应力由剪力 Q 引起，本质是抵抗梁各层之间的相对错动（层间黏结力）。
- 切应力公式 τ=Q·Sz*/(Iz·b)，由「正应力沿梁长的变化需要切应力平衡」推出。
- 矩形截面切应力抛物线分布：边缘为零、中性轴最大，τmax=3Q/(2A)。
- 切应力分布与正应力正好相反：正应力「中间零、边缘大」，切应力「中间大、边缘零」。
- 工字形截面：翼缘抗弯、腹板抗剪，分工明确。
- 细长梁通常正应力控制；短粗梁、薄腹板、弱抗剪材料必须校核切应力。
- 剪力流 q=τb=QS*/I 与宽度无关：翼缘-腹板交界处 τ 突变（例题 4：25.5 对 2.04）而 q 连续（两侧均 204 N/mm）——薄壁截面的切应力走向由剪力流定调。
- 矩形简支梁跨中集中力下 σ/τ=2l/h，切应力控制的临界长高比 l/h=[σ]/(2[τ])：木梁约 4.5、钢梁约 0.9——短粗木梁剪切说了算，钢梁几乎永远弯曲控制。
- 层间无黏结就没有组合作用：叠梁各层绕自身形心轴弯曲，应力翻倍、刚度降为 1/4、许可弯矩减半——叠板弹簧是主动利用这一点的工程原型。
- 近似式 τ≈Q/Aweb 把腹板抛物线「压平」成矩形，永远略偏大（例题 4：偏保守 7.2%）——估算、复核可放心用，精确计算仍用 QS*/(I·b)。
- 「τ 图与 Q 图同形」补全了应力翻译链：M 图找 σ、Q 图找 τ——第 5 章两张内力图至此全部变成设计依据。
读完本章，你应该能……
- 解释弯曲切应力产生的原因（层间错动）。
- 写出切应力公式，说明 Sz* 是什么。
- 画出矩形截面切应力分布，指出最大最小位置。
- 说出切应力与正应力分布的三点不同。
- 判断什么情况下必须校核切应力。
- 复述茹拉夫斯基公式的推导链：纵向微块平衡 → τ′=dM·S*/(I·b·dx) → 用 dM/dx=Q 收口。
- 计算工字形腹板最大切应力，说明近似式 τ≈Q/Aweb 偏保守的原因与幅度（例题 4：7.2%）。
- 解释交界处 τ 突变而剪力流 q 连续，并验算两侧 q（204 N/mm）。
- 用 σ/τ=2l/h 与临界长高比 [σ]/(2[τ]) 判断给定梁由哪种应力控制，会算木梁的门槛值 4.5。
- 会判断叠层结构有没有组合作用，依据是层间能否传递切应力。
- 会画细长梁与短粗梁各自的典型破坏形态（跨中下缘拉裂／支座旁顺纹错动），指出对应的应力。
- 能说出近似式 τ≈Q/Aweb 偏保守的几何原因（把抛物线压平成矩形）。
思考题
1. 为什么矩形截面切应力在上下边缘为零、在中性轴最大？
提示：切应力 ∝ 静矩 Sz*（所求点以上的面积对中性轴的矩）；边缘以上无面积 Sz*=0，中性轴处半截面静矩最大。
2. 弯曲正应力和切应力在分布上有何不同？
提示：正应力线性分布、中间零边缘大；切应力抛物线分布、中间大边缘零。
3. 工字形截面为什么「翼缘抗弯、腹板抗剪」？
提示：翼缘远离中性轴、正应力贡献大；腹板在中部、切应力大，承担大部分剪力。
4. 一根细长钢梁和一根短粗木梁，谁更需要注意切应力？为什么？
提示：短粗木梁。短粗梁剪力相对大，木材顺纹抗剪弱，必须校核切应力。
5. 茹拉夫斯基公式里，S* 取「所求点以上面积」与「以下面积」，算出的 τ 一样吗？
提示：一样。上、下两块面积互补，对过形心的中性轴静矩互为相反数，绝对值相同——哪块顺手用哪块。
6. 例题 4 中交界处「腹板侧 25.5 MPa、翼缘侧 2.04 MPa」，切应力在这里断了吗？
提示：τ 突变、剪力流 q=τb=QS*/I 连续：两侧都等于 Q×180 000/I=204 N/mm。宽度突变处流速（τ）变、流量（q）不变。
7. 推导矩形简支梁跨中集中力的 σ/τ=2l/h，并据此算出木梁（[σ]=10、[τ]=1.1）切应力控制的临界长高比。
提示：σ=3Fl/(2bh²)、τ=3F/(4bh)，相除得 2l/h；令 τ/[τ]≥σ/[σ] 得 l/h≤[σ]/(2[τ])=10/2.2≈4.5，比 4.5 更矮胖的木梁剪切控制。
8. 汽车叠板弹簧为什么故意让各板「可滑动」，而不焊接成整体梁？
提示：各板独立弯曲近似等强度悬臂，层间滑动＋摩擦耗能缓冲冲击，单板可换、维护便宜；代价是应力高、刚度低（例题 1：应力 2 倍、刚度 1/4）。
9. 直径 d=100 mm 的实心圆截面梁某截面剪力 Q=30 kN。最大切应力多大？是平均切应力的几倍？
提示：A=πd²/4≈7 854 mm²，τ平均=Q/A≈3.82 MPa；圆截面 τmax=4Q/(3A)≈5.09 MPa，是均值的 4/3≈1.33 倍，位于中性轴处——与本章 τmax/τ平均 汇总表一致。圆截面各点切应力须与边界相切（自由表面），竖向分量合成后峰值系数为 4/3，落在矩形 1.5 与薄壁工字 1.05~1.2 之间。
10. 不动笔算 S*，你能说出矩形截面上、下边缘切应力为零的两条理由吗？
提示：其一，边缘以外无面积，S*=0，τ=QS*/(Iz·b)=0；其二，顶、底是自由表面，表面无切应力，由互等定理，与之垂直的横截面在该处的切应力也必为零。「公式路线」与「边界路线」互相印证——后者在薄壁截面上更有用：剪力流只能贴着壁、沿与自由边平行的方向流。