第 14 章　动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理

14.1功与动能

功是力在位移上的累积：F 作用在质点上，质点发生微小位移 dr，力做的元功 dW = F·dr。质点的 动能定义为 T = ½mv²，它衡量「物体因为运动而具有的『能量』」。

深入一步：功的正负号与三种常见力的功

元功 dW = F·dr 的点积自带符号：夹角小于 90° 做正功（动力），大于 90° 做负功（阻力），恰为 90° 不做功。恒力沿直线做功简化为 W = F s cosθ。有三类力的功值得单独记账：重力做功 W = ±mgh，只看起点与终点的高差 h，与路径形状无关——沿斜面绕行也好、竖直直落也好，同落差做功相同；弹簧弹力做功 W = ½k(x₁² − x₂²)，由劲度系数与两端形变决定；摩擦力做功 W = −f·s，与走过的路径长短成正比——绕远就多耗。「与路径无关」还是「路径依赖」，是重力与摩擦最本质的区别，也是 14.3 节「保守力/非保守力」分类的伏笔。

验证「重力做功与路径无关」只需一步微元：把任意路径切成无数小段，每段元功只取力的竖直分量 dW = −mg·dz，水平漫游全被「垂直滤波」滤掉，求和只剩总落差 ∫dz = h。正是这个「滤波」性质让重力获得了「势能记账」的资格。弹簧弹力的功同样一步积分：W = ∫₀ˣ kx·dx = ½kx²——在 F–x 图上看，就是直线 F = kx 下的三角形面积；形变从 x₀ 回到零，弹力做正功 ½k x₀²，原样奉还。

刚体的动能：三张「快捷账单」

动能 T = ½mv² 是质点的账本；刚体是质点系，把每个质点的动能加起来，按运动形式整理出三张账单。平动刚体各点速度相同 → T = ½m v_C²（C 为质心）；定轴转动刚体各点 v = rω → T = Σ½m_i(r_iω)² = ½Jω²；平面运动刚体（如滚动的轮子）两者兼有 → T = ½m v_C² + ½J_Cω²。判断用哪张账单，先看刚体在做什么运动——这是用动能定理前必做的「分诊」。三张账单的共同点是只看速度（角速度）的大小：动能是标量，方向信息全部丢失。

工程应用：能量观点与「吸能设计」

结构抗坠撞设计里，工程师第一句话问的不是「碰撞力多大」，而是「总动能多少、由谁吸收、怎么摊薄」。坠撞总动能固定 → 吸能行程越长，平均载荷越低，乘员承受的过载越小。机身腹部布置可压溃的蜂窝夹层与泡沫铝，起落架用油针缓冲「吃掉」垂直速度，座椅导轨预留变形行程——全部是动能定理的工程翻译：F̄·Δs = ½mv²，动量定理在时间维度讨价还价（Δt），动能定理在空间维度讨价还价（Δs），一对双胞胎公式撑起了整个缓冲防护学科。

辨析：功是过程量，动能是状态量

问「某时刻功是多少」没有意义——功只在一段位移上才有定义；动能却只由该时刻速度决定，与来路无关。两者的落差正是动能定理的全部内容：无论过程多复杂、力怎么变、路径怎么绕，功最终都被「压缩」成首末两个动能之差。「只看首尾、不管过程」是它最锋利的品格，也是它的边界——过程中的信息（时间、轨迹细节、约束力）在定理里一律隐身，要这些信息得请别的定理出场。

14.2动能定理：从牛顿第二定律推导

动能定理同样藏在牛顿第二定律里。用速度 v 点乘 F = ma，并注意 a = dv/dt：

F·v = mv·dv/dt = d(½mv²)/dt = dT/dt

两边对时间积分（等价于对位移积分），得到动能定理：

W = ∫F·dr = ½mv₂² − ½mv₁² = T₂ − T₁ = ΔT

推导补全：每一步的「依据清单」

推导从「用速度点乘牛顿第二定律」开始，点乘是关键动作：F·v = m·(dv/dt)·v。链式法则给出 (dv/dt)·v = d(v²/2)/dt（标量的方向信息在此退场），于是 F·v = d(½mv²)/dt。左边 F·v 正是功率 P——单位时间做的功。所以动能定理的微分形式是一句工程语言：功率 = 动能增长率，P = dT/dt。对时间积分（∫F·vdt = ∫F·dr）即得 W = T₂ − T₁。发动机铭牌上的功率，最终都花在改变动能上——这句话是全章的工程锚点。

再看「哪些力不做功」的清单，它是动能定理干净的原因：光滑面法向约束力垂直于位移，不做功；固定铰链的约束力作用点不动，不做功；纯滚动时轮胎与地面接触点速度为零，静摩擦不做功；不可伸长柔索两端张力做功相互抵消；刚体内力成对出现、功抵消。这些「理想约束」统统从功账上隐身——方程干净是天赋，算不出约束力是代价。但滑动摩擦永不做零功：它只在接触点相对滑移为零时才休息。

工程应用：着陆滑跑的能量账本

着陆滑跑距离的估算就是一道动能定理应用题：进跑道时的动能 T₀ = ½mv² 是「预算」，被气动阻力、发动机反推、刹车摩擦力矩几本账共同消耗。设计师能调度的是各阻力的大小与作用距离：接地后迅速放下增阻装置让气动阻力提前进场，高速段反推效率高、低速段刹车效率高——分阶段启用每一种耗能手段，把预算「吃干榨尽」，滑跑距离才能压进跑道。整个过程首尾两点就能算清，正是积分形式定理的威力；要中间细节（某时刻速度、刹车压力），才需要回到微分方程。

辨析：动能定理求不出「方向、时间与约束力」

动能是标量，一个动能方程只能解一个未知数（通常是速度大小）。它给不了方向（末速度朝哪？要靠动量定理或几何约束），给不了时间（滑行多久？要对运动学方程另行积分），更给不了约束力（不做功的力在方程里隐身，例题 4 里跑道压力 N 自始至终没出现过）。所以三大普遍定理从来不是互相替代，而是各出一道方程、联合围猎未知量——这正是第 13 章与本章合起来读的原因：动量管方向、动量矩管转动、动能管大小，三把刀一起出鞘，复杂动力学才缴械。

14.3机械能守恒定律

力分两类：保守力（重力、弹力、万有引力等，做功只与起点终点有关、与路径无关）和非保守力（如摩擦力）。保守力的功可以用势能的减少来表示。把动能定理拆开，就得到：

T₁ + V₁ = T₂ + V₂（只有保守力做功时）

深入一步：势能——给保守力记的账

机械能守恒的骨架是「势能」这个记账工具。保守力（重力、弹力、万有引力）做功只与始末位置有关，于是可以定义一个只依赖位置的函数 V(x, y, z)，让保守力的功自动对账：W_保 = V₁ − V₂（保守力做正功，势能等量减少）。重力势能 V = mgh（h 为相对基准面的高度）、弹性势能 V = ½kx²（x 为相对自然长度的形变）。两件事必须心中有数：其一，势能零点可以任选——账本的「本金」记在哪一页不影响差额，工程上常取地面、弹簧自然长度或最低点为零点，怎么方便怎么来；其二，势能属于系统——重力势能是「地球—重物」系统共有的储能，弹性势能属于「弹簧—物块」系统，口语里说「某物体的势能」只是省略，概念上并不严格。

势能曲线是强大的直觉工具：把 V(x) 画出来，总能量画成一条水平线，物体「允许活动」的范围就是曲线低于水平线的区段；曲线下凹的「碗底」是稳定平衡位置（受扰动会荡回来），上凸的「峰顶」是不稳定平衡（一碰就滚走）。振动、稳定性这些后话，全部能在势能曲线上提前「看见」——它是本章通往振动理论的桥。

工程应用：能量法——后续课程的「通用货币」

「动能＋势能」这套账本有着惊人的通用性：材料力学把「势能」换成杆件的应变能，得到用能量法求位移的整套工具（本套教材材力篇的「能量法初步」）；机械振动求固有频率的能量法只写一行——最大动能 T_max 换最大势能 V_max；流体力学的伯努利方程，本质是流体微元的机械能守恒。方法骨架一字不改，只换「能量载体」。飞行的能量管理（巡航—下降—复飞各阶段的能量剖面）也是同一套思路：把整架飞机当作一个能量系统来调度，高度是「势能存款」，速度是「动能存款」，推力是「收入」，阻力是「支出」——学完本章，你已经拿到了这本「存折」的记账规则。

辨析：三个「守恒」的分工

动量守恒要求合外力为零，动量矩守恒要求合外力矩为零，机械能守恒要求「只有保守力做功」。三个条件考察系统受力的三个不同侧面，一个成立不代表其他成立：光滑冰面两球相撞，动量守恒（外力为零）而动能未必守恒（取决于恢复程度）；单摆大幅摆动，机械能守恒而动量不守恒（张力有水平分量时）；绕日行星，动量矩守恒而动量时刻在变（引力不为零）。先侦察守恒条件，再决定动用哪条定律，是动力学解题的第一决策——把这条纪律练成本能，复杂题就变成了「选刀」题。

14.4达朗贝尔原理：动静法

动力学和静力学原本是两套方法。达朗贝尔（d'Alembert）想出了一个「神操作」：把牛顿第二定律 F = ma 移项：

F + (−ma) = 0

把「−ma」当成一个假想的力，叫 惯性力。于是动力学方程在形式上变成了一个「合力为零」的静力学平衡方程。

深入一步：动静法「四步流程」

把动力学问题翻译成「静力学题」的完整流程是固定四步：① 运动学侦察——判断系统各构件做平动、定轴转动还是平面运动，用运动学定理把加速度（角加速度）全部用已知量与待求量表出；② 施加惯性力系——平动构件在质心加一个反向力 F_I = −ma_C；定轴转动构件把惯性力系向转轴 O 简化：在 O 加惯性力 F_I = −ma_C，再配惯性力偶 M_IO = −J_Oα；平面运动构件向质心简化：F_I = −ma_C 与 M_IC = −J_Cα 两件都放在质心；③ 画「受力＋惯性力」合并图；④ 套静力学全家桶——ΣF = 0、ΣM = 0，任意选投影轴与矩心，约束力照求。惯性力偶这「第二件套」是初学者最容易漏的零件：匀加速转动的飞轮质心在轴上、惯性力为零，但惯性力偶 −Jα 扎实存在，漏了它答案就会错得离谱。

深入一步：惯性力偶为什么必须登场

给平动构件加惯性力就够了，为什么转动构件还要追加一个「力偶」？根源在力系简化：把每个质点的惯性力（−m_ia_i）向同一点简化，主矢给出总惯性力 −Ma_C，主矩给出惯性力偶 −Jα（J 取对该简化中心的转动惯量）。平动时各点加速度相同，主矩恒为零，一件套够用；转动时即使主矢为零（质心恰在轴上），主矩依然非零——它对应「角加速度」这一自由度。换句话说：惯性力管平动自由度，惯性力偶管转动自由度，两个自由度就两件套，缺一不可。这也是动静法解题前必须先做运动学「分诊」的原因：分诊错了，件套就配错了。

工程应用：转子动平衡与旋转激振力

理想转子的质心应当正好落在转轴上。若制造或装配误差让质心偏离轴 e，转子以角速度 ω 旋转时，惯性力 F_I = m e ω² 大小恒定、方向随转动不停换向，这正是轴承承受的旋转激振力——它推着轴承座做与转速同频的受迫振动。e = 0.1 mm、m = 10 kg、n = 3000 r/min 的小误差就有 0.1×10⁻³×10×(314)² ≈ 98.7 N 的激振力；转速翻倍，激振力按 ω² 翻四倍。航发与汽轮机转子的「动平衡」工艺，本质就是加配重让质心偏距 e 归零、并把惯性力偶也一并平衡掉——动静法把「振动、噪声、轴承寿命」这些工程痛点，翻译成了两条基础概念：质心偏距与角速度平方。适航与验收文件里对旋转件的平衡等级要求，源头就在这一页。

辨析：惯性力的「假」与「真」

惯性力不是真实的力：找不出施力者，也不满足牛顿第三定律的反作用配对。但它的「工程效果」千真万确——急刹时前排乘员的前冲感、高速转弯时向外甩的体感，都是随参考系「随身携带」的惯性力在起作用。动静法只是「效果等价」的记账手段，并非宣称惯性力真实存在；而在旋转机械的动坐标系（非惯性系）里写动力学方程，惯性力获得完整公民权，成为方程的正式成员。教材把达朗贝尔原理放在虚位移原理之前，正是让「假想力」先入场，为「虚」字辈的概念（虚位移、虚功）做好心理铺垫——两者共用一个哲学内核：用「假想的东西」换取「熟悉的算法」。

14.5虚位移原理

静力学解平衡，一般要逐个画受力图、列平衡方程。虚位移原理提供一条「捷径」：假想系统有一个微小的、满足约束的虚位移（想象中允许的位移，不一定是真的运动），那么系统平衡的充要条件是——所有主动力在虚位移上做的虚功之和为零：

Σ F_i · δr_i = 0

深入一步：虚位移 vs 实位移——一个「虚」字三重含义

实位移是系统在时间流逝中真实走过的位移（dr = vdt），虚位移是想象中、同一时刻、约束允许的任意无限小位移，记作 δr 以示区别。三重含义拆开看：① 冻结时间——dt = 0，把机构拍成照片，在照片上讨论「如果动，可以怎么动」；② 只受约束限制——只要不撕破约束的都算，实位移只是其中一种特例（真实运动恰好选了它）；③ 大小方向任意——n 个自由度的系统有 n 组独立虚位移，每一种都可以拿去做「假想实验」。分析力学的通行做法由此浮现：拿不同的虚位移代入 ΣF·δr = 0，像代入不同的测试信号一样，把未知力一个个「逼」出来。

解题流程固定四步：① 判自由度、设广义坐标（找几个独立参数能完全确定位置）；② 给一组方便的虚位移，把主动力作用点的坐标变分出来（δx、δy 用几何关系写成同一广义坐标的倍数）；③ 代入 ΣF_i·δr_i = 0；④ 由虚位移的任意性令其系数为零，解出待求量。「给虚位移」就是「让系统在照片上摆一个假想姿势」，全部技巧在步骤②的几何变分。

工程应用与知识去向：从虚功到分析力学

虚位移原理的工程化身随处可见：螺旋千斤顶「转小圈、顶大重」，本质是螺纹升角扮演 θ；肘杆夹具在机床夹紧里以小气缸压力锁出数倍夹持力；飞机登机门的四连杆机构、缝纫机的送布机构，设计阶段都先摆「虚位移关系」再谈受力。而它在理论上的去向更加壮阔：把达朗贝尔原理与虚位移原理合体——给加速系统加惯性力后仍写虚功方程——就得到动力学普遍方程（Σ(F + F_I)·δr = 0），再引入广义坐标与「拉格朗日能量函数」，就登上拉格朗日方程——整个分析力学的大门在这一点正式打开。你此刻学的虚位移，是那座大厦的第一块砖。

辨析：虚功方程与平衡方程，谁替代谁

对单个刚体的平衡问题，静力学方程组与虚功方程完全等价，谁也不占便宜。虚功原理的优势在多刚体系统：理想约束的约束力全部隐身，n 个自由度只需要 n 个虚功方程，方程数骤减；代价是要求约束理想、且需要「摆虚位移」的几何想象力。反之，当约束不理想（弹簧、摩擦存在）或必须求约束力时，解除约束或回头用平衡方程更直接。成熟工程师的姿势是：全局平衡用静力学，机构传力用虚功，两者在工具箱里平起平坐——选哪个，先看「约束力要不要出场」。