第 1 章　向量

1.1向量是什么：同时拥有大小和方向

先想一个生活场景：你从家出发，往东走 3 公里，又往北走 4 公里。问：你现在离家的直线距离是多少？在哪个方向上？

要回答这个问题，光有一个数是不够的。你需要两样东西：

• 走多远——这是「大小」（也叫模长、长度）；
• 朝哪个方向——这是「方向」。

把「大小」和「方向」捆在一起的东西，数学上就叫 向量（vector）。反过来，只有大小、没有方向（比如「温度 37 度」「质量 5 公斤」），就叫 标量（scalar）——它就是一个普通的数。

日常生活中到处是向量：速度（每小时 60 公里 + 朝北）、力（5 牛顿 + 斜向上）、位移（从 A 点到 B 点）。而像时间、温度、质量、价格这些，都是标量。判断一个量是不是向量，就一句话：它有没有方向？

深入一步：为什么「一个数」注定不够用

值得停下来想一想：「方向」这件事，为什么没法用单独一个数塞进去？因为一个数只能回答「多与少」这一类问题——它是数轴上的一个刻度读数。而「方向」需要的是参照物：说「朝东北」，前提是先有「东」和「北」这两把公共的「尺子」。没有参照物，「方向」无从谈起。

既然一个数不够，数学家采用的办法是打包：选定一组参照方向（东、北），把任意一个方向「拆」成各参照方向上的份额，每个份额配一个数。往东走 3、往北走 4，这个运动就被拆成两个数：(3, 4)。于是「大小 + 方向」这对搭档，被整齐地装进了一列有序数字里。这个「拆」的动作，在 1.3 节会有正式的名字——坐标表示，本质是把每个分量看作箭头在参照方向上的投影。

还有一个更深的问题：要用几个数才够？在平面上活动，两个参照方向（东、北）就够；在立体空间里，要三个（东、北、上）。换句话说——需要几个独立的数才能唯一说清一个对象，它就有几个「自由度」。平面向量有两个自由度，空间向量有三个。这个「自由度」的直觉将在第 2 章升级成严格的「维数」概念，并一路通向 n 维向量空间。

当然，你也可以不拆，改用「一个角度 + 一个长度」来描述平面上的方向（这就是地理方位或极坐标的思路：北偏东 37°、距离 5 公里）。这种记法适合报告，但做运算——尤其是加法——会非常别扭（两个「角度+长度」怎么相加？）。把方向拆成分量之后，加法和数乘都会变成最朴素的「数字对数字」操作，这正是 1.4、1.5 节要展开的内容。

还有一个容易忽略的细节：标量的海洋里也能长出向量。温度本身是标量，但「海拔每升高 100 米、温度下降 0.6 度」这件事就带上了方向——沿「上山」方向温度递减。这种从标量场中提炼出来的「变化最快的方向 + 变化率」，就是温度梯度，一个如假包换的向量。判断某个量是不是向量，永远回到那句话：它有没有方向？——而不是看它「平时像不像数字」。

1.2几何表示：一支箭头

在平面上，向量最自然的画法就是一支箭头：

• 箭头的指向 = 向量的方向；
• 箭头的长度 = 向量的大小（模长）。

这里有个关键约定，很多人第一次会忽略：向量在乎的是「位移」，而不是「绝对位置」。一支箭头画在这里还是画在别处，只要长度一样、方向一样，就是同一个向量。这种「能自由平移」的向量，叫 自由向量。

所以我们以后常把向量的起点放到坐标原点 O，只关心它的终点落在哪里——这样就只剩一个点需要描述，为下一节「坐标表示」铺好了路。

自由的、固定的、可滑移的：工程里的三种「向量」

「向量可以随便平移」并不是唯一的可能。按「起点是否重要」来分，工程中常遇到三种箭头：自由向量（起点完全不重要，如位移、速度）、固定向量（起点固定在原点，专门用来「定位」一个点，也叫位置向量）、滑移向量（起点只允许沿箭头所在的直线滑动，如作用在刚体上的力）。

为什么力是「滑移」的？把一支推小车的力沿着它的作用线前后挪动，小车的运动效果不变；但若挪到作用线之外（歪到旁边去推），车就开始打转了。所以对「力」来说，重要的不是「作用在哪一点」，而是「作用在哪条线」上——起点有部分自由，但不是完全自由。

线性代数选择自由向量作为主角，是一次深思熟虑的抽象：它把「绝对位置」这个与加减运算无关的信息主动舍弃，只保留「方向 + 大小」这两个真正参与运算的属性。数学抽象的功力，往往就体现在这种「舍得」上——舍掉无关的，留下的才能自成体系。后面你会发现：正因为向量可以自由平移，「两段位移是否相同」才与「发生在哪里」彻底解耦，运算规则才可能干净利落。

1.3坐标表示：从箭头到 (x, y)

画箭头直观，但做计算不方便。数学家引入坐标系，把箭头「翻译」成数字。

约定：把向量的起点放在原点 O，看它终点落在哪个点。如果终点落在 (x, y)，我们就把这个向量记作：

v = (x, y)

这里的 x、y 叫向量的分量（component），分别表示箭头在水平方向、竖直方向上「走了多少」。

于是，一个平面向量 v=(x, y) 就有了两个「分身」：

• 几何分身：一支从原点指向 (x, y) 的箭头；
• 代数分身：一列有序数字 (x, y)。

到了三维，向量就写成 v = (x, y, z)，一支空间箭头；更高维（四维、五维……）虽然画不出来了，但写法完全一样：v = (x₁, x₂, …, x_n)。这就是向量概念的威力——它可以脱离「画得出来」的限制，推广到任意维。

分量的本质：投影、符号与自由度

分量 (3, 2) 里的两个数，到底是什么？更准确的说法是：分量 = 箭头在参照方向上的投影（带正负号）。x 分量 3，是把箭头「垂直投」到 x 轴上量出来的长度；y 分量同理。负号则编码了一个方向信息：x 分量为 −3，意味着箭头在 x 轴上的投影朝「负方向」。你看，正负号本质上也是一种「方向压缩」——把「朝正向还是朝反向」这件事，压缩进一个数的符号位里。

而「需要几个分量」，上一节说过，就是几个自由度。平面上的一支箭头，两个数就唯一敲定；空间里要三个数。倒过来读这句话更有味道：「自由度 = 分量个数」是「维数」概念的第一颗种子。第 2 章讲基底与维数时，你会看到它长成严格的定义：空间的维数，就是「唯一确定一个点所需独立参数的个数」。

再追问一句：坐标 (3, 2) 是这支箭头的「天生属性」吗？不是。它是相对于选定的坐标系才存在的——坐标轴转 45°，同一支箭头的坐标立刻变成另一对数。箭头本身没变，变的是「参照尺子」。这个观察先埋在这里，第 2 章（基底）和第 10 章（基变换）会把它变成正式的定理。现在你只需记住：谈坐标，永远默认谈的是「在某套坐标系下」。

从箭头到数据：向量概念的抽象威力

「向量 = 有序数组」这个定义一旦成立，一场静悄悄的扩张就开始了：任何一组按固定顺序排列的测量值，都可以被当作向量来处理。比如描述一架通用飞机的飞行状态，可以打包成（迎角, 空速, 高度, 侧滑角）——四个数、四维向量；描述一种材料，可以打包成（密度, 弹性模量, 泊松比, 导热系数）——又一个四维向量。它们画不出来（四维空间没有「箭头」可画），但加法、数乘、模这些运算照单全收、逐字有效。

这正是「抽象」的威力所在：把箭头「能算」的那部分（分量运算）提炼出来，把「画得出」这个偶然属性丢掉，向量就从几何工具升级成了通用数据容器。计算机存储向量，就是存一个数组；数据分析里把每个样本看成高维空间的一个点；搜索引擎把每篇文档表示成几万维的词频向量——它们全部建立在「向量 = 有序数组」这个朴素的等式上。你现在学的 (3, 2) 怎么相加，就是日后千万维数据运算的样子。

1.4向量的加法：把两支箭头「接」起来

向量怎么相加？回到直觉：你从家往东走 3 公里（向量 a），再往北走 4 公里（向量 b），两次位移合起来，就是「往东 3 又往北 4」，一个指向东北的向量 a + b。

这正是向量加法的两种几何画法：

• 三角形法则（首尾相接）：把 b 的起点接到 a 的终点，再从 a 的起点连到 b 的终点，得到 a + b。
• 平行四边形法则：让 a、b 同起点，作平行四边形，对角线就是 a + b。

那在坐标里，加法怎么做？因为 a=(3,0) 表示「向右走 3、向上走 0」，b=(0,4) 表示「向右走 0、向上走 4」，两步合起来就是「向右 3、向上 4」：

a + b = (3, 0) + (0, 4) = (3+0, 0+4) = (3, 4)

看，几何上「首尾相接」，落到代数上就是「分量相加」——这就是 1.3 里说的「几何与代数的双重身份」第一次发威。

为什么「分量相加」与「三角形法则」必然一致

两种描述为什么算出来一定相同？值得花三分钟把它彻底想透。设 a=(a₁, a₂)、b=(b₁, b₂) 是两段位移。先走 a 再走 b，问总位移的水平份额是多少？走 a 时水平方向挪了 a₁，走 b 时又挪了 b₁——水平方向「独立记账」，总账自然是 a₁ + b₁。竖直方向同理，总账 a₂ + b₂。于是总位移就是 (a₁+b₁, a₂+b₂)。

这段论证的关键，是「水平」与「竖直」这两个方向互不干涉：横向的移动不会在纵向上产生任何份额，反之亦然。用几何的话说，两个参照方向互相垂直；用代数的话说，两组分量可以各自独立相加。「分量相加」不是谁拍脑袋规定的捷径，它是「位移可以按独立方向分别记账」这一物理事实的直接后果。三角形法则（画图量出来）与分量相加（列式算出来）只是同一件事的两种语言——而列式的那种，计算机才能执行。

加法的运算律与向量的减法

数的加法有交换律、结合律，向量加法照样有，而且每一条都有几何图像：a+b=b+a（平行四边形里，从哪个边出发画对角线都是同一条）；(a+b)+c=a+(b+c)（三段位移先并前两段还是先并后两段，总位移不变）；a+0=a（零向量：长度为 0 的箭头，起点即终点，加它等于原地不动）；a+(−a)=0（走过去再原路返回）。这四条加上数乘的规则，就是第 2 章「向量空间」公理化定义的原材料——听起来高深的公理，源头不过是这些「走路的常识」。

减法由加法定义：a − b = a + (−b)，即「加一个反向箭头」。几何上它有一个特别好用的读法：把 a、b 平移到同一起点，则 a − b 是「从 b 的终点指向 a 的终点」的那支箭头（注意方向：差的箭头指向被减数的终点）。导航里常说的「航向偏差」、力学里求「净力」，用的都是减法。

上例里「7.24 与 4.47 的差距」值得再琢磨一下：合位移的模什么时候最大、什么时候最小？设 |a|=5、|b|=3，把 b 从与 a 同向开始慢慢转到反向，|a+b| 的变化如下表（可按 |a+b|² = |a|² + 2(a·b) + |b|² 计算，点积将在 1.6 节正式登场）：

结论浓缩成一句话：三角不等式 |a+b| ≤ |a|+|b|，等号只在同向时成立；反向时合位移的模是两模之差 5 − 3 = 2。「两力夹角越大，合力越小」——这条常识的数学户口，就落在这里。

1.5向量的数乘：拉伸与反向

第二个运算叫 数乘（scalar multiplication）：用一个标量去乘一个向量。

直觉：2v 就是「把 v 拉长到 2 倍」，方向不变；(1/2)v 就是「缩短到一半」；−v 就是「掉个头」，方向相反，长度不变。乘一个负数，既拉伸又反向。

在坐标里，数乘也是「每个分量都乘」：

k · (x, y) = (kx, ky)

加法 + 数乘，合称 线性运算。它们是线性代数里仅有的两种基本运算——后面你会看到，这门课的一切，最终都归结为「加一加、缩放一下」。

数乘的五条运算律：线性组合的地基

数乘不是孤立的规则，它与加法之间有明确的「配合条款」，最重要的五条是：

• 1v = v：乘 1 不动（单位元）；
• 0v = 0：乘 0 得零向量（注意结果是向量 0，不是数 0）；
• k(lv) = (kl)v：两次缩放等于一次合并缩放（如 2(3v) = 6v）；
• (k+l)v = kv + lv：系数先相加，等于分别缩放再相加（对「标量」的分配律）；
• k(a+b) = ka + kb：对「向量」的分配律——一次缩放整个和，等于分别缩放再相加。

最后两条分配律尤其要紧：它们把「加法」和「数乘」焊成了一个整体，使得 c₁v₁ + c₂v₂ 这类「先各自缩放、再相加」的表达式可以自由展开、合并、提公因子——像数的代数一样。第 2 章的「线性组合」，正是建立在这五条规则之上的第一个大概念；这套规则的完整版本，就是「向量空间」的公理化定义。

回到几何验证一下 k(lv)：v=(3,4)，先乘 3 得 (9,12)，再乘 2 得 (18,24)；直接乘 6 也得 (18,24)。两次拉伸可以合并成一次——因为拉伸只改变「沿着原方向走多远」，与「分几步走」无关。

共线判据与分点公式

数乘最重要的几何推论是共线：b 与非零向量 a 共线，当且仅当存在实数 k 使 b = ka。「互相是对方的倍数」=「躺同一条直线」。这句话在第 2 章会升级成「两个向量线性相关」的判据，是整个相关/无关理论的起点。

数乘还能造出「分点」：把线段 AB 的中点写成向量语言——M = (A + B)/2。道理很朴素：从 A 出发到 B 的一半，就是「把整个位移 AB 缩放 ½」。同理，「三等分点」就是把位移缩放 1/3、2/3。位置的平均、加权中心（如几个载荷的合力作用点），本质都是「向量的加法 + 数乘」。

1.6模与单位向量

一支箭头的长度，叫向量的 模（长度），记作 |v| 或 ‖v‖。

怎么算？看向量 v=(3,4)：它和两个坐标轴方向恰好组成一个直角三角形，两条直角边是 3 和 4。由勾股定理：

|v| = √(3² + 4²) = √25 = 5

推广到一般向量 (x, y)，模就是：

|v| = √(x² + y²)

这其实就是「原点到点 (x,y) 的距离」——模的几何意义，正是箭头的长度。

有了模，就能造出一个特别有用的向量：方向与 v 相同、但长度恰好为 1 的向量，叫 单位向量。做法很简单——把 v 除以它自己的模：

单位向量 = v / |v|

顺带一提：三维向量 (x, y, z) 的模是 √(x²+y²+z²)，道理完全一样，只是多了一条直角边。更高维照此推广。

模的三条性质：从「长度」到「距离」

模不只是一个公式，它自带三条性质，日后会在高维空间里反复出现：

• 非负性：|v| ≥ 0，且 |v| = 0 当且仅当 v = 0（长度为零的箭头只能是零向量）；
• 齐次性：|kv| = |k|·|v|——缩放 k 倍，长度缩放 |k| 倍（负号只管方向，不影响长度）。验证：|−2·(3,4)| = |(−6,−8)| = 10 = 2×5 = |−2|·|(3,4)|；
• 三角不等式：|a+b| ≤ |a|+|b|——绕两段路的总位移，不会比直线路程更短（1.4 节例题 4 已用数字见证过）。

这三条性质是如此基本，以至于数学家把它们定为「长度」这个概念的准入标准，统称范数公理：任何高维空间里想要一个「像长度的东西」，只要它满足这三条就行。数据分析里计算样本间的「距离」、机器学习里的「误差大小」，用的都是满足同样三件的推广长度——而勾股公式 √(x²+y²) 只是其中最常用的一种（欧几里得范数）。

延伸阅读：点积——给「方向关系」定一把刻度尺

到这里还有一个缺口：模能度量「一支箭头多长」，但两支箭头之间的方向关系——垂直？同向？夹角多大？——还没有任何工具可以量化。补上这个缺口的是 点积（dot product），也叫数量积，记作 a·b。它有两种定义，先看代数的：

a·b = a₁b₁ + a₂b₂　（三维再加一项 a₃b₃）

「对应分量相乘再相加」，比加法还简单。但光看这行式子看不出它凭什么描述「方向关系」。真正的答案是等价的几何定义：

a·b = |a|·|b|·cos θ　（θ 为两箭头的夹角）

两种定义为什么是一回事？用余弦定理可以三步推出来。第一步，构造三角形：让 a、b 同起点，则第三边是 a − b（从 b 终点指向 a 终点的箭头），三边长分别是 |a|、|b|、|a−b|，a 与 b 的夹角为 θ。第二步，对这条边用余弦定理：|a−b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b|cos θ。第三步，把左边按分量展开：|a−b|² = (a₁−b₁)² + (a₂−b₂)² = |a|² + |b|² − 2(a₁b₁ + a₂b₂)。两式相减、约去公项，得到 |a||b|cos θ = a₁b₁ + a₂b₂。用具体数字验证一遍：取 a=(3,4)、b=(5,12)，则 a−b=(−2,−8)，|a−b|² = 4+64 = 68；由余弦定理反解 cos θ = (68 − 25 − 169)/(−2·5·13) = 63/65，而按代数定义 a·b = 15+48 = 63 = 5×13×(63/65)——两种算法严丝合缝。

点积的投影意义：把几何定义改写为 a·b = |b| × (|a|cos θ)。括号里的 |a|cos θ，正是 a 在 b 方向上的投影长度（带正负号：夹角为钝角时投影在反方向上，记负数）。所以点积读作：一支箭头的长度 × 另一支箭头投过来的影子长度。这个「影子」视角在物理上有个大名鼎鼎的应用——功：力做的功 W = F·s，只统计「沿位移方向」的力分量，垂直分量一分功都不做。

由投影解读可以立刻读出点积的几个关键性质：a·a = |a|²（自己投给自己的影子就是自身长度，所以自点积=模的平方——反求模的常用技巧）；两支非零箭头垂直 ⇔ 点积为 0（cos 90° = 0，影子长度为零）；同向时点积最大（影子最长）、反向时最负（影子落在负方向）。还有一条务必记住：点积的结果是标量，一个带符号的数，不是向量。运算律方面它继承了不少好习惯：交换律 a·b=b·a、对加法的分配律 a·(b+c)=a·b+a·c，都成立。