第 10 章　数学期望与方差

10.1数学期望：分布的重心

先看一个直觉问题：掷一颗骰子，平均能掷出几点？

直觉的算法是 (1+2+3+4+5+6)⁄6 = 3.5。但换一种写法更能看出本质：

1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = 3.5

也就是：每个取值 × 它出现的概率，再全部加起来。这就是数学期望（简称期望，记作 E(X)）。

期望的本质是「以概率为权的加权平均」。它不是「最可能出现的值」，而是「长期大量重复后，平均每次得到的值」。

期望是「长期平均」的归宿

「加权平均」的定义还可以从另一个方向看：把骰子掷 n 次，1 点大约出现 n/6 次、2 点大约出现 n/6 次……总点数 ≈ 1×(n/6) + 2×(n/6) + … + 6×(n/6)，于是样本平均 = Σ（取值 × 该值出现的频率）。试验次数越多，频率越贴近概率，样本平均也就越贴近 Σ（取值 × 概率）——正是期望的定义。所以「期望 = 长期重复的平均值」不是口号，而是频率稳定性的必然推论。「频率稳定于概率、样本平均稳定于期望」这件事的严格版，就是第 12 章的大数定律——期望是那条定理的终点站。

既然期望定义为求和/积分，就必须过问一句：它一定存在吗？数学上要求 Σ|x_k|p_k（或 ∫|x|f(x)dx）收敛，否则取值的正负两翼可能互相「无限拉扯」，平均值没有着落。著名的反例是柯西分布（密度 1/(π(1+x²))）：它的尾巴太厚，∫|x|f(x)dx 发散，期望根本不存在——「中心」这个概念对它直接失效。工程中常见的分布（本章表里的全部）都老老实实收敛，但知道「期望存在需要条件」能避免在长尾数据上误用期望。

三个「中心」的分工：期望、众数、中位数

刻画「分布中心」的候选指标有三个：期望（加权平均）、众数（最可能的值）、中位数（左右各半的分界）。教材与工程默认选期望，理由有三：其一，只有期望满足线性性——E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这类代数运算只有期望能做，众数与中位数都没有这个待遇，而整章的理论体系（以及第 11、12 章）都建在它上；其二，众数对形状敏感——多峰分布有多个峰、平顶处众数漂移，不稳定；其三，中位数要解方程（F(m)=0.5），往往没有闭式解。但也有例外场景：右偏长尾的数据（收入、寿命）更适合报中位数——第 9 章例题 2 的泵「均值 500、中位数 347」就是教训：长尾把期望拉离了典型值，此时中位数更能代表「典型个体」。

工程落点：质量成本的期望平衡

期望在工程里最漂亮的应用是决策的期望值比较：要不要全检？设漏检一件流入下游的赔偿与返工成本为 C（元/件），全检成本为 c（元/件），次品率为 p。全检的期望成本是 c；抽检放行的期望成本是 p·C。当 p·C > c 时全检更划算，反之放行——一条不等式定下检验策略。同理，维修策略（定期换 vs 坏了再换）、备件储备量、冗余设计选型，本质都在比较两边的期望成本。可以说工程决策论的半壁江山就是「期望对期望」，本章学的加权平均正是那把秤。

辨析：期望的两个常见误读

误读一：「期望是某次试验的合理预测」。错——期望是长期平均的中心，单次结果落在期望上的概率常常为 0（骰子掷不出 3.5）。做单次预算时应看区间概率（第 9 章），不要把均值当承诺。误读二：「期望高就好」。只看期望会漏掉散布——期望 84 元的工艺若有时 100 有时 20，比稳定在 84 的工艺难做计划得多。「中心 + 散布」二维着眼的必要性，正是 10.4 节方差的出场理由。

10.2期望的计算公式

离散型

设 X 的分布律为 P(X=x_k)=p_k，则：

E(X) = Σ_k x_k · p_k

连续型

设 X 的密度函数为 f(x)，则：

E(X) = ∫_−∞^+∞ x · f(x) dx

对照着看，两个公式是同一件事：离散时「概率是 p_k，求和」；连续时「概率密度是 f(x)dx，积分」。都是「取值 × 概率，再累加」。

公式的推导：从样本平均出发

离散公式不用死记，它是样本平均的极限形式：做 n 次试验，取值 x_k 出现了 n_k 次，则样本平均 = Σ x_k·(n_k ⁄ n)，其中 n_k ⁄ n 是频率。当 n 增大，频率稳定于概率 p_k，样本平均随之稳定于 Σ x_kp_k——期望公式就这样从「数记录」里长出来。它同时解释了为什么求和必须遍历所有取值：少算一个取值，等于把一整块概率质量丢在了秤外。

连续公式是同一件事的积分版：把数轴切成宽 Δx 的小段，落在 x 附近一段的概率 ≈ f(x)·Δx（第 7 章的「密度 × 微元 = 概率」），于是平均 ≈ Σ x·f(x)Δx；令 Δx → 0，求和变积分，得 E(X) = ∫x·f(x)dx。离散求和、连续积分，骨架完全同构——这句贯穿第 6 到 9 章的话，在期望这里再次应验。

随机变量函数的期望：不必先求新分布

一个常被忽视却极有用的定理：设 Y = g(X) 是 X 的函数，则求 Y 的期望不必先求 Y 的分布——直接在 X 的分布上对 g 加权：

E[g(X)] = Σ g(x_k)·p_k（离散）；　E[g(X)] = ∫ g(x)·f(x)dx（连续）

道理很直白：X 落在 x_k 处的概率是 p_k，那么 g(X) 取值 g(x_k) 的概率也是 p_k——权重跟着点走。省去「求 g(X) 分布」这一步不只是省力：很多 g（如分段函数、取 min/max）的新分布算起来相当麻烦，甚至写不出简洁式子，这一定理往往是唯一的可行路径。下一节的 E(X²)（g(x)=x²）以及方差的整套推导，全靠它铺路。

工程落点：成本函数与性能指标的期望化

工程合同里的赔付、赔偿、罚则几乎全是「基础费 + 单价 × 量 + 封顶/免赔」的分段结构——例题 2 的 min(x, 2)×800 是它们的代表。投标报价、风险预算、保险精算的日常，就是对这类 g 算期望。规律值得记牢：带封顶（凹）的条款，其真实期望低于「按平均情形估算」；带免赔额/门槛（凸）的条款则相反。凡是用「平均延误 × 单价」直接估预算的算法，都在系统性地错——正确做法永远是把 g 当成随机变量的函数，按本节定理积分。

辨析：E[g(X)] ≠ g(E(X))]——「先平均再代入」是两回事

这是本章第一个必须刻进脑子的不等式。函数在中间「拐弯」，先平均再代入与先代入再平均就会分家：凹函数（封顶、开方、min）满足 E[g(X)] ≤ g(E(X))，凸函数（平方、指数增长、max）满足 E[g(X)] ≥ g(E(X))。特别地，取 g(x) = x²：E(X²) ≥ [E(X)]² 恰好就是「方差永远非负」（10.5 节）的代数根源——方差公式 D(X) = E(X²) − E²(X) ≥ 0 原来是凸性的直接推论。「平均值不能穿过函数」这半句话，把 10.5 节的性质、不等式和工程预算高估问题串成了一条线。

10.3期望的线性性质

期望有个极其好用的性质——线性性：

E(aX + b) = a·E(X) + b（a、b 为常数）

E(X + Y) = E(X) + E(Y)（无论 X、Y 是否独立！）

为什么「天然线性」？因为期望本质是「加权平均」，而平均运算天然是线性的——就像「两个班各自平均分，合起来的平均分等于两个平均分的加权组合」。这个性质不需要 X、Y 独立，是期望最强的优点之一。

线性性的推导：为什么不需要独立

「无需独立」这件事有严格依据，离散情形三行就能看清。设 (X, Y) 的联合分布为 P(X=x_i, Y=y_j)，则

E(X+Y) = Σ_iΣ_j (x_i+y_j)·P(X=x_i, Y=y_j)

按 x 与 y 拆开成两个双重和：= Σ_ix_i·Σ_jP(X=x_i,Y=y_j) + Σ_jy_j·Σ_iP(X=x_i,Y=y_j)。内层求和恰是边缘化：Σ_jP(x_i,y_j) = P(X=x_i)。于是上式 = Σx_iP(X=x_i) + Σy_jP(Y=y_j) = E(X)+E(Y)。全程只用了「加法拆括号 + 边缘化」，从未用到 P(XY)=P(X)P(Y)（独立性的定义）——这就是线性性无条件成立的原因。直觉版本：把 X 的所有取值与 Y 的所有取值两两配对求和，无论它们如何纠缠，x 的总额按 x 的边缘概率记账、y 的总额按 y 的边缘概率记账，账目天然分开。

两个经典推导：兑现第 8 章的承诺

二项分布 E(X) = np：把「n 次中成功次数」写成 n 个伯努利变量之和 X = X₁+…+X_n（第 8 章埋的 0/1 编码伏笔），每个 E(X_i) = p，线性性一步到位：E(X) = np。不用碰组合数，不用错位相消——拆成简单件再求和，这就是线性性的用法范本。

泊松分布 E(X) = λ：E(X) = Σ_k≥1 k·λ^k ⁄ k!·e^−λ。注意到 k/k! = 1/(k−1)!，令 j = k−1 错位：= λ·e^−λ·Σ_j≥0 λ^j ⁄ j! = λ·e^−λ·e^λ = λ。求和号里最后那步正是 e^λ 的泰勒展开——第 8 章「归一性验证」的老朋友再次救场。λ 既是平均次数又是唯一参数，这种「参数即特征」的自洽，是泊松分布优雅的深层原因。

工程落点：PERT、串联系统与「拆解大法」

项目工期管理（PERT 技术）的标准操作就是例题 3 的放大版：把项目拆成工序网络，每个工序给一个「期望工期」，整条关键路径的期望工期 = 各工序期望之和——无需假设工序独立即可得到中心估计；再在「工序独立」的假设下累加方差得到工期波动。「把复杂量拆成简单件、分别求期望再相加」这个套路（拆解大法）在本节、第 11 章与第 12 章会反复出场：复杂系统的期望行为，往往就是简单元件期望的直和。

辨析：期望无条件、方差有条件——本章最容易混的一对

把两条性质并排放着记：E(X+Y) = E(X)+E(Y) 永远成立；D(X+Y) = D(X)+D(Y) 只有独立（或第 11 章的「不相关」）才成立。看穿差别只需一个极端例子：令 Y = X（完全正相关），D(X+Y) = D(2X) = 4D(X)，而「想当然相加」会给出 2D(X)——完全同步的两个波动不是各自为政，而是同向放大。正相关让方差大于「相加值」（波动共振），负相关让它小于（波动对冲）。例题 3 中若工序正相关，实际方差将超过 58。这条「方差不能随便相加」的警示，10.5 节正式展开，第 11 章用协方差给出统一公式。

10.4方差：偏离中心的程度

期望告诉你「中心在哪」，但没告诉你「数据离中心有多远」。两个分布可以有相同的期望，一个很集中，一个很分散。为了刻画「离散程度」，引入方差。

自然的想法：算「每个取值与期望的差距 X − E(X)」，再取平均。但差距有正有负，直接平均会抵消。于是先平方（都变成正数），再取期望：

D(X) = E[ (X − E(X))² ]

这就是方差（记作 D(X) 或 Var(X)）。它的平方根 σ = √D(X) 叫标准差——标准差和原变量同单位，更容易解释。

为什么必须先平方：从「抵消陷阱」说起

最直觉的散布度量似乎是「平均偏离」E[X−E(X)]。但它有一个致命缺陷——恒等于 0：由线性性，E[X−E(X)] = E(X)−E(X) = 0。正偏离与负偏离在天平两侧精确抵消，量不出任何东西。要让「偏离程度」不被正负号抹掉，就得先做一次消除符号的处理。候选方案有两个：绝对值 |X−μ|（得到「平均绝对偏差 MAD」）与平方 (X−μ)²（得到方差）。两者都能完成任务，教材与工程一致选平方，因为它在代数上碾压式好用：处处可导光滑；能用线性性展开成 E(X²)−E²(X) 这条计算捷径（10.5 节）；与线性变换完全兼容（D(aX+b)=a²D(X)）。绝对值函数在 0 点不可导、没有展开捷径、也没有类似的体系。选平方不是因为绝对值「不对」，而是因为平方能参与整套代数运算——又一次看到数学指标选择的实用主义。

标准差 σ = √D(X) 则负责「翻译回原单位」：方差是「平方单位」（分钟²、毫米²），σ 与数据同单位，可比较、可相加（独立时）、可直接和公差对齐——第 9 章所有 σ 的工程用法（3σ 控制图、公差设计）依赖的都是它。物理课的读者会有一个惊喜的既视感：方差的结构 E[(X−μ)²] 与转动惯量（质量分布绕质心的二阶矩）完全同构，σ 则对应回转半径——「方差是统计界的转动惯量」这个类比，把「集中/分散」的直觉与「抗拒偏转」的直觉接在了一起。

工程落点：方差即「计划性」

例题 4 的结论可以推广成一条工程格言：期望决定「平均好不好过」，方差决定「计划好不好排」。互换性设计（零件尺寸一致性）、计划维修周期、库存安全余量、排产缓冲——这些与「波动管理」相关的决策，输入参数都是 σ 而不是 μ。质量管理的发展史甚至可以说是一场「方差收敛史」：从手工作坊的大 σ，到统计过程控制（第 9 章 3σ 图）把 σ 压进规格限，再到六西格玛的百万分之 3.4 缺陷率——中心没怎么变，是散布被一步步驯服。

辨析：「均值—方差」两维决策观

只报一个期望的报表是不完整的：例题 4 里两家供应商在「均值报表」上是同一行。把均值与方差（或 σ）并列成两个坐标，就得到工程与金融共用的「收益—风险」决策平面：期望是平均收益，方差是风险（波动）。金融组合理论的基石——用方差度量风险、在给定风险下最大化期望——用的正是这两个 10.1 与 10.4 节定义的量。看到「风险」二字不妨翻译回教材语言：那是一个经过方差丈量的「分散程度」。

10.5方差的计算公式与性质

直接按定义 D(X)=E[(X−E(X))²] 算有时麻烦。展开后能得到一个更实用的计算公式：

D(X) = E(X²) − [E(X)]²

推导：把 (X−E(X))² 展开成 X² − 2X·E(X) + [E(X)]²，再对期望的线性性逐项计算即可。这个公式说：方差 = 「平方的期望」减「期望的平方」——只需算 E(X²) 和 E(X) 两个量。

方差还有两条常用性质（注意和期望的对比）：

• D(aX + b) = a²·D(X)（常数 b 不影响离散程度；系数 a 要平方——因为方差算的是「平方」距离）。
• D(X) ≥ 0，且 D(X)=0 当且仅当 X 恒等于常数（完全没有波动）。

D(X) = E(X²) − E²(X) 的完整推导

mnemonic 里一句话带过的推导，这里把每一步的「依据」都摆在台面上。记 μ = E(X)：

D(X) = E[(X−μ)²]

第一步，展开平方（代数恒等式，无概率）： (X−μ)² = X² − 2μX + μ²
第二步，逐项取期望（线性性）： E[(X−μ)²] = E(X²) − 2μ·E(X) + E(μ²)
第三步，代入 E(X)=μ 与「常数的期望是它自己」： = E(X²) − 2μ² + μ² = E(X²) − μ² = E(X²) − [E(X)]²

三行推导每一步都有出处：恒等式展开、期望的线性性、常数的期望——没有任何新武器，只有 10.2、10.3 节工具的接力。这条公式的计算价值在于：直接按定义算 E[(X−μ)²] 要先减 μ 再平方再加权（两轮运算），而新公式只需在原分布上算一次 E(X²)（一轮运算）与一次 E(X)（例题 4 已示范）。结构价值则更深远：它把方差拆成「二阶矩 − 中心矩平方」，一眼看出非负性 E(X²) ≥ E²(X)——正是 10.2 节末尾「凸函数不等式」的特例，两处印证。

D(aX+b) = a²D(X)：方差不加常数的原因

性质 D(aX+b) = a²D(X) 背后的机制，一句话可破：平移不改变「到中心的距离」。推导只需两行：

aX+b − E(aX+b) = aX+b − [aE(X)+b] = a[X−E(X)]　（b 在相减中约掉了！）
于是 D(aX+b) = E[a²(X−E(X))²] = a²·E[(X−E(X))²] = a²D(X)

看清楚 b 的去向：随机项 aX+b 与其期望 aE(X)+b 相减时，常数项 b 正负相消——整条分布向左或向右平移，每个点到新中心的距离纹丝不动，方差当然不变。「方差不加常数」不是规定，而是「距离」这个几何对象的平移不变性。而尺度 a 没有这个待遇：距离被均匀拉长 |a| 倍，平方后就是 a² 倍。把这对性质并排记：平移管不动方差，缩放按平方结算。

还有一条本章用得最多、也最需要「看清前提」的性质：独立时和的方差等于方差的和，D(X+Y) = D(X)+D(Y)。证明的关键一步（展开 E[(X+Y−E(X)−E(Y))²] 后出现交叉项 2E[(X−E(X))(Y−E(Y))]）需要第 11 章的新工具协方差才能说清，届时将看到：交叉项在独立时恰好为 0，一般情形它就是「相关性对方差的贡献」——正相关放大方差、负相关对冲方差。眼下先记住结论与前提：E(X+Y) 无条件相加，D(X+Y) 有条件相加（10.3 节辨析的正式版）。

工程落点：公差累加的 RSS 法

方差独立可加性有一个直译成工程语言的版本——统计公差法（RSS 法）：串联装配的各环节误差相互独立时，总误差的方差 = 各环节方差之和，即 σ_总 = √(σ₁²+σ₂²+…+σ_n²)。对比传统 worst-case 法（所有环节同时取到最坏值，公差算术相加），RSS 给出的总公差宽松得多：三个 σ 相同的环节，RSS 总波动是 √3σ ≈ 1.73σ，worst-case 却要求 3σ 的带宽。为什么 RSS 合理？因为「所有环节同时最坏」的概率微乎其微（独立时按乘法法则急剧缩小），按 worst-case 定公差等于为几乎不发生的事件买单。RSS 成立的两个前提——各环节误差独立 + 环节数不太少——第 12 章中心极限定理会补上最后一块拼图。

辨析：三条性质的「前提清单」

把本章的性质按前提强弱排一张小抄：E(aX+b) = aE(X)+b，零前提；D(aX+b) = a²D(X)，零前提（平移不变 + 平方缩放，只涉及单个变量）；E(X+Y) = E(X)+E(Y)，零前提；D(X+Y) = D(X)+D(Y)，需要独立（或第 11 章的不相关）。用性质前先过一遍这张清单，能挡掉例题 5(3) 那样的典型错误。下一章协方差登场后，D(X+Y) 的完整公式 D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 将把「前提」变成「交叉项」，届时这张清单可以合并成一条总公式。

10.6常用分布的期望与方差

把前面学过的分布汇总成一张表，方便查阅。这些结果都值得记下来——它们贯穿后续所有章节。

有几个漂亮的规律值得玩味：

• 泊松分布：期望 = 方差 = λ。一个参数同时决定了中心和离散程度，非常优雅。
• 二项分布的期望 np 恰好是「次数 × 每次成功概率」，直觉满分。
• 指数分布期望 1/λ：λ 越大（事件越频繁），平均等待越短，符合直觉。
• 正态分布的两个参数 μ、σ² 正好就是它的期望和方差——这正是第 9 章说「μ 是均值、σ 是标准差」的由来。

表里每行都能推：三个代表

这张表不必背——每行都能在五分钟内推出来，挑三个代表演示「推」的手感。二项分布：X = X₁+…+X_n 拆成 n 个独立伯努利（10.3 节），期望 E(X) = np；每个 X_i 的方差为 p(1−p)（直接按定义算：E(X²)=p、E²(X)=p²，差为 p−p²），独立方差可加，D(X) = np(1−p)。泊松分布：E(X) = λ 已在 10.3 节错位推得；E(X²) 用同样的错位技巧但先拆 k² = k(k−1)+k：Σk(k−1)λ^k ⁄ k!·e^−λ = λ²·e^−λΣ_j≥0λ^j ⁄ j! = λ²，于是 E(X²) = λ²+λ，D(X) = λ²+λ−λ² = λ。期望与方差相等且都等于唯一的参数——泊松分布「一个 λ 定一切」的自洽在此闭环。几何分布：E(X) = 1/p 与 D(X) = (1−p)/p² 的推导需要「错位相减」或条件期望技巧，超出本章工具箱，先接受结论；但可用数字验证手感：p=0.8 时 E=1.25、D=(0.2)/(0.64)=0.3125，与第 8 章例题 5 的计算吻合。

再看正态那行：μ 和 σ² 不是「恰好等于」期望和方差——它们就是被定义为期望和方差的两个参数。N(μ,σ²) 这个记号本身，就是「用均值和方差命名一个分布」。这也解释了为什么第 9 章正态分布能统治质量控制：工程最关心的两个数字（中心与散布）被直接写进了它的名字里，标准化 Z = (X−μ)/σ 正是 D(aX+b)=a²D(X) 的应用（取 a=1/σ、b=−μ/σ，D(Z) = σ²/σ² = 1）。

期望与方差的威力：切比雪夫不等式

本章至此定义了两个数字特征，它们的作用远不止「概括分布」——仅凭期望和方差，就能对任意分布的尾部概率立起一条上界。这就是切比雪夫不等式：对任意随机变量 X（期望 μ、方差 σ²）与任意 ε > 0：

P(|X − μ| ≥ ε) ≤ σ² ⁄ ε²　（等价地：P(|X − μ| < ε) ≥ 1 − σ² ⁄ ε²）

证明只需两步，用的全是本章工具：注意到 P(|X−μ| ≥ ε) = P((X−μ)² ≥ ε²)，而对非负随机变量恒有 P(Y ≥ a) ≤ E(Y)/a（均值摊薄了概率质量）；代入 Y = (X−μ)²、a = ε²，得 P ≤ E[(X−μ)²]/ε² = σ²/ε²。它的震撼之处在于「任意分布」四个字：完全不知道分布长什么样子，只要两个数字（μ、σ²）在手，就能保证「大幅偏离中心」的概率不越过这条线。它是第 12 章大数定律的引擎——「样本均值收敛于期望」的严格证明，靠的正是这条不等式；也是「无分布信息时保守预算」的工程语言。

工程落点：保底承诺与「反解式设计」

例题 6(3) 的「反向使用」是切比雪夫在工程中最实用的姿势：把概率承诺翻译成方差预算。验收条款写「至少 90% 落在 ±10」，切比雪夫告诉设计方：无论尺寸的真实分布长什么样，把 σ² 压到 10 就必定达标——一个不依赖任何分布假设的设计裕度。同理，供应链风险沟通（「无论需求分布如何，缺货概率不超过 x%」）、测试样本量的保守估计（第 12 章）都建在这条不等式上。它与第 9 章的正态工具箱形成互补：知道分布时用正态精确算，不知道分布时用切比雪夫保底——一精一粗，覆盖两种信息状态。

辨析：切比雪夫 vs 正态精确计算——保守性的代价与价值

0.0625 与 0.000063 的巨大差距容易让人小看切比雪夫。但要公平地评价它：切比雪夫面对的是所有可能的分布，其中不乏重尾怪物（比如把大量概率堆在 ±20 mm 恰好处的病态分布），对这些分布 0.0625 几乎是紧的——保守不是缺陷，是「对任意分布一视同仁」必须支付的价格。另一面，ε 取得越小（如 ε = 2σ 时界为 1/4），信息越值钱；ε = 3σ 时界为 1/9 ≈ 0.111，而正态真实值只有 0.0027——分布信息本身值三个数量级的精度。这条对比也解释了工程实践为什么要花大力气做分布拟合与假设检验（第 11、12 章）：买回「分布形状」这条信息，卖出的是量级改善的结论。