第 9 章　刚体的基本运动

9.1平动：刚体「平移」而不旋转

想象一个抽屉被拉出来，或者电梯轿厢上升——刚体上任意两点连成的直线，在运动过程中始终保持方向不变。这种运动叫 平动（translation）。

平动的判据：盯住「任意两点的连线」

定义里的关键词是任意两点的连线方向保持不变。实操时不必检验所有连线——在刚体上找两条不平行的代表线段（例如矩形块的一条长边与一条短边），若两条都始终保持方向不变，刚体必然没有转动，就是平动。反过来，只要发现一条线段转了方向，就不是平动。这个判据只看「方向」，与刚体走到了哪里无关。

由此有个容易忽略的推论：平动的轨迹不必是直线。摩天轮的座舱始终吊挂保持水平（舱内地板方向不变），随大轮沿圆周「平移」——每个座舱都做平动，但轨迹是圆弧；游乐场荡木、摆式输送机上的料斗，同理。直线平动只是平动的特例。

拿三个场景练判据：①电梯轿厢——地板、侧壁的方向全程不变，平动；②摩天轮座舱——吊臂使舱体始终吊挂保持水平，舱底方向不变，平动（但轨迹是圆）；③汽车转弯——车身整体换了朝向，侧壁方向变了，不是平动。三例的差别不在轨迹形状，而在「车身朝向」有没有动——朝向一动，就必须引入转动的语言，这正是下一节的主题。

还有个常被问到的细节：判据「任意两点连线方向不变」是在哪个参考系里说的？答案：在固定参考系（通常取地面）里看。车厢里悬挂的小球上下摆动，车厢参考系里它「没转」，地面参考系里吊线方向却在变——是否平动，永远先声明相对谁。这与上一章「位置没有绝对意义」一脉相承：平动、转动同样是相对指定参考系而言的概念。

平动刚体的运动方程：一个点 + 一组常向量

设平动刚体上参考点 A 的位矢为 r_A(t)，则任意另一点 B 的位矢是 r_B(t) = r_A(t) + r_AB，其中 r_AB 是两点间的固定连矢量——平动意味着它不随时间变（大小、方向都冻结）。求导两次立即得到 v_B = v_A、a_B = a_A，核心性质在位矢层面得到证明。工程上照此记账：龙门吊只跟踪吊具中心一个点，集装箱四个角的位置 = 中心点位置 + 各自固定的偏移矢量——「一个点 + 一组常向量」就是平动系统的全部档案。

曲线平动的描述也不神秘：摩天轮座舱随大轮做半径 60 m 的圆周平动，取座舱地板中心为代表点，它沿大圆弧匀速移动——上一章圆周运动的全套公式（v = RΩ、a_n = v²/R）原样适用，唯一的新知识是：座舱上其余任意一点与代表点共享同一个答案。点的运动学是字典，平动是查这本字典的第一个词条。

平动的加速度场同样整齐：全体点共享同一加速度。这带来一个工程判据——凡是「整体搬运」的载具（电梯、缆车、观光舱），乘员舒适度评估只需一条减速度曲线：人体对加速度（而不是速度）敏感，制动太猛引发失重感与不适，制动太缓又浪费时间，设计规范在两者之间画线。电梯「舒适感」的调校，本质是把一个点的 a(t) 曲线修圆滑。

从自由度账本看更清楚：空间里不受约束的刚体有 6 个自由度——3 个平动坐标加 3 个转动角度。平动刚体只「用掉」平动那 3 个，转动的 3 个被约束按死，所以它能被一个点的三个坐标完全描述；定轴转动反过来：3 个平动坐标被轴承锁住，只剩绕轴的 1 个转角。两种基本运动各占「半边天」——第 11 章将看到，刚体的一般平面运动正是「平动 + 转动」的叠加，本章在给全书打地基。

工程应用：把「整体搬运」设计成一个点

平动的工程价值在于「一个点代表全体」：集装箱龙门吊把几十吨的箱子整体平移，控制系统只需跟踪吊具一个点的位置；数控机床的工作台沿导轨平动，刀具轨迹由工作台单点位置直接给出；电梯轿厢、升降舞台、DVD 光头拖架，全都按「单点运动」建模。设计时要保证的只有一条——不转：导轨的平行度、吊点布置的对称性，都是为了守住平动判据。

辨析：平动与转动的分界

①平动 ≠ 直线运动——轨迹是曲线照样可以平动（摩天轮座舱）；②「整体移动」≠ 平动——车厢转弯时整体前进了，但车身方向在变，连线转了，就不是平动；③平动刚体没有「内部运动」——各点之间没有相对位移，因此平动刚体的运动学自由度只有 3 个（一点的三个坐标），而一般刚体运动有 6 个（另 3 个是转动）。判断三步：找两条代表线段 → 看方向是否始终不变 → 方向不变即平动，可退化为一个点处理。

画一幅「速度场」图景会更有体感：平动刚体上每一点的速度箭头长度相等、方向相同——整个刚体的速度场是整齐划一的箭头阵列。对照下一节的定轴转动：转动刚体各点的速度箭头沿圆周切向排布、长度随 r 递增——速度场的「整齐划一」与「扇形展开」，正是平动与转动最直观的分水岭。

「一个点」模型的适用边界

把平动刚体缩成一个点，只在运动学层面成立——问位置、速度、加速度，一点代表全体。一旦关心姿态（吊装箱子是否保持水平）、内部受力（四根吊索的拉力分布）或几何干涉（能否正好通过门洞），就必须回到完整刚体：点的模型回答「走到哪」，刚体的模型还要回答「摆成什么样、内部谁紧谁松」。同一台电梯轿厢，安全评估用点模型算减速度，装配校核却用完整刚体查间隙——模型没有对错，只有合不合用途。

9.2定轴转动：绕一根固定的轴转

门绕门轴转、飞轮绕中心轴转——刚体上（或其延伸部分）有一条固定的直线（转轴），刚体绕它转动，这种运动叫 定轴转动（rotation about a fixed axis）。转轴上的点不动，其余各点都在做圆周运动。

描述定轴转动，用角量：

• 转角 φ：刚体转过的角度（弧度）。
• 角速度 ω = dφ/dt：转角的变化率，表示转得多快。
• 角加速度 α = dω/dt = d²φ/dt²：角速度的变化率，表示「转动的快慢」变化多快。

单位与换算：r/min 与 rad/s

角量的标准单位是 rad/s，但电机铭牌、机床主轴、汽车转速表全都用 r/min（转/分）。换算公式一行记住：

ω = 2πn/60 = πn/30　（n 的单位是 r/min）

来历很直白：n 转/分 = n×2π 弧度/60 秒。常用快查：1450 r/min ≈ 151.8 rad/s（异步电机常见铭牌值）、2900 r/min ≈ 303.6 rad/s、3000 r/min ≈ 314 rad/s。反过来 rad/s → r/min 用 n = 30ω/π。忘换单位是本章第一大失分点——公式 v = rω 里 r、ω、v 必须分别是 m、rad/s、m/s。

为什么偏要用弧度？因为 rad 是「干净的派生单位」：弧长 = 半径 × 转角，只有转角取弧度时这个乘法才不带任何系数（1 rad 就是弧长与半径相等的角度）。v = rω、s = rφ、a_n = rω² 的简洁形式全靠弧度制撑着——改用「度」，每一步都要补一个 57.3 的换算因子。这是 rad/s 作为标准单位的深层原因。

这行速查覆盖大部分工程场景：3000/1500 对应两极/四极电机的同步转速，1450 是异步电机铭牌值，900 上下是打磨类电动工具，300 是中速传动轴，60 恰好每秒一转。记两个锚点：3000 r/min ≈ 100π rad/s；60 r/min = 2π rad/s。再补一句铭牌背后的道理：同步转速由电网频率 50 Hz 与磁极对数决定（四极机 60×50/2 = 1500 r/min），转子实际转速总要慢上一点（转差约 2%~5%），于是铭牌标 1450 而非 1500——「为什么不是整数」，电网频率里藏着电机学。

匀变速转动：直线运动公式族的「旋转版」

转角 φ、角速度 ω、角加速度 α 的关系，与直线运动的位置 s、速度 v、加速度 a 完全平行。把上一章的公式逐字替换（s→φ、v→ω、a→α），立刻得到匀变速转动公式族：

这张对照表不需要新记忆——只要把「直线」两个字换成「转角」，整条公式族免费平移过来。适用条件同样是 α 恒定；α 随时间变化时（多数电机的实际起动曲线），只能回到积分：ω = ∫α dt、φ = ∫ω dt。

转角方程的四种典型

给 φ(t) 分类，与上一章给 r(t) 分类完全同构：①匀速转动 φ = ωt，α = 0；②匀变速转动 φ = ω₀t + ½αt²；③一般变速转动——由实测曲线数值微分或积分；④周期性转动——曲柄、偏心轮按恒定节律循环，转角随时间无限增长，但「每转一圈」的快慢恒定，这类运动是「把转动变成往复」的机械桥梁（曲柄滑块、偏心机构），第 11 章正式展开。判断类型的第一问永远是：α 是不是常量？

与直线运动一样，转动也有自己的「图像语言」：φ–t 图的斜率是 ω，ω–t 图的斜率是 α，ω–t 图下的面积是转过的总角度。例题 2 的滑行在 ω–t 图上是从 151.8 直线降到零的斜线——斜率恒定正是「匀减速」的图像含义；斜线下三角形面积 ½×151.8×10 = 759 rad，正是那 120.8 转。上一章练过的读图功夫，逐字搬到角量世界，一行不用改。

还有一个观念要提前种下：平面转动里，ω 的正负号（逆时针为正）已经够用；但在三维空间，绕哪根轴转、朝哪边转，必须用矢量说清——角速度是矢量，方向沿转轴，指向由右手定则给出（四指顺着转向卷起，拇指即 ω 方向）。本章只研究绕固定轴的转动，ω 退化为一个带正负号的数；到第 10 章点的合成运动（v = ω × r 的叉乘）和第 11 章刚体平面运动时，它的矢量身份才正式登场。

「定轴」二字在工程上由轴承保证：一个径向轴承卡住轴心两个方向的平动，一对轴承再卡住轴的倾倒趋势——6 个自由度锁死 5 个，只放开绕轴转动的 1 个。轴承磨损后最先出现的症状恰是「轴不再定轴」：径向跳动、轴向窜动，都是被锁的自由度在松动。定轴转动是理想模型，轴承保养就是在守卫这个模型的成立条件。

工程应用：铭牌、飞轮与起动时间

电机铭牌上的「额定转速 1450 r/min」是设计工况——异步电机同步转速 1500 r/min 减去小量「转差」；两极电机对应 2900 r/min 档。起动时间估算直接用公式族反推：从静止加速到额定转速需要 t = ω₀/α，起动段 α 由电机转矩与负载惯量决定（动力学部分见后两章）。飞轮则是「反着用」的同一笔账：它故意把转动惯量做大，让转速在负载突变时几乎不掉——电网瞬时扛不住的大功率冲击，被飞轮的 121 转滑行储备消化掉。

辨析：角量是「全体共用」的量

①同一刚体上所有点共享同一组 φ、ω、α——「飞轮转得快」说的是整体，不挑点；而线量 v、a 各点不同，靠 r 区分。②匀速转动 α = 0，但各点加速度不为零——切向为零、法向 a_n = rω² 照常存在，这是本章思考题 2 的深化版。③ω 的正负号只代表转向（逆时针为正、顺时针为负的约定），别把 α < 0 误读成「倒转」——减速中的飞轮 α 为负、ω 仍为正，转向没变，只是变慢。

9.3转动刚体上各点的速度与加速度

定轴转动刚体上，距转轴为 r 的某一点做圆周运动，它的速度与加速度都能由角量求出：

速度：v = r·ω（沿切线方向）

切向加速度：a_τ = r·α，　法向加速度：a_n = r·ω²

r 从哪里量：到转轴的垂直距离

三个公式里的 r 都是从转轴到该点的垂直距离（点到轴的垂线长），不是「直径」也不是「到轴端面的距离」。转轴上的点 r = 0：速度、加速度全为零，静止不动（这正是「定轴」的含义）；离轴最远的点最忙——v = rω 最大、a = √(a_τ² + a_n²) 也最大。同一轮上比较大小看 r；不同轮之间比较看 ω——先分清「比什么」，再选公式。

方向图景要一次记牢：v 沿圆周切线；a_τ 沿切线（加速与 v 同向、减速反向）；a_n 沿半径指向转轴。上一章「全加速度偏向轨迹凹侧」的直觉在这里落地——圆周运动的凹侧就是轴心一侧，转速越高 a_n 占比越大，合加速度越贴近半径方向。

速度分布：一把张开的扇子

沿半径从轴心向外看，v = rω 线性增长、a_τ = rα 线性增长、a_n = rω²（ω 固定时）也线性增长——三个线量都对 r 成正比，分布图是从轴心「张开」的直线。用一把直径 300 mm、正以 900 r/min 空转的砂轮读一遍数字：ω = 94.2 rad/s；轴心 r = 0，v = 0、a = 0，纹丝不动；r = 75 mm 处 v = 7.1 m/s、a_n = 666 m/s²；轮缘 r = 150 mm 处 v = 14.1 m/s、a_n = 1333 m/s²——从轴心到轮缘，速度与法向加速度双双按 2 : 1 线性放大。本章后面几道例题里的所有「远近对比」，都是这把扇子上的取样。

方向图景：三个箭头的指向规则

把方向规则集中成三句话：v 沿圆周切线、指向转向一侧；a_τ 沿同一条切线，加速时与 v 同向、减速时反向；a_n 沿半径指向转轴。合成后全加速度偏向哪边？a_n 无条件指「凹侧」（轴心一侧），a_τ 只在切线上摆动，于是合矢量永远落在凹侧半边——加速时偏前、减速时偏后、匀速时正对轴心。「偏指凹侧」这条直觉是检查计算错误的方向标：结果朝凸侧，必有一步错了。

再看方向的细节：轮缘上相隔 180° 的两点，a_n 一个向左一个向右、v 一个向上一个向下——大小完全相同、方向截然相反。这就是「角量全体共用、线量逐点不同」的完整含义：ω、α 是全局的，v、a 是局部的；翻译系数 r 不只是倍数，还携带着「在哪」的位置信息。

这里再埋一个方向上的易错点：v = rω 只是大小公式，本身不携带方向。常见翻车是把「ω 取正」直接翻译成「v 朝上」，换一个点就错——正确顺序是先用 ω 的正负号（配合事先规定的逆时针为正）判定转向，再让 v 沿该点圆周的切线、顺着转向画出。「减速转动」最考验方向感：ω 与 α 反号时，v 仍顺着 ω 的转向，a_τ = αr 却逆着 v 指向，两者一旦混谈，减速段的加速度图必然画反——刹车段的车轮就是活例：轮缘各点 v 顺着前进方向，a_τ 却指向后方。往深处衔接一步：ω 本质是矢量，速度的严格写法是叉乘 v = ω × r，方向由右手定则给出；平面问题里它退化成带正负号的代数量，教材才敢只用正负号说话。到第 11 章基点法，ω × r 这一项将作为矢量重新上岗，现在养成的方向直觉正是为它准备的。

传动：把两个轮「接」起来算

工程里转速很少孤立出现——电机 1450 r/min，工作机要 360 r/min，中间就要传动。最常见的是带传动与齿轮传动，共同原理一句话：两轮接触点（或带与轮缘）没有相对滑动，线速度相同。由 v = rω 得 ω₁r₁ = ω₂r₂，用转速与直径写成：

n₁d₁ = n₂d₂　　传动比 i = n₁/n₂ = d₂/d₁

小轮带大轮：转速降低、转矩放大；大轮带小轮：转速升高、转矩缩小——「减速箱」三个字对应的正是这条比例式。

传动比还能串成链：两级带传动 4×4 = 16 倍减速，三级 64 倍；减速箱铭牌标「i = 40」，意味着电机转 40 圈、输出轴才转一圈——多级传动的总传动比等于各级连乘。反过来，转速传感器（编码器）常故意装在高速轴上：同样一圈刻度被放大 i 倍分辨率——设计者站在传动链的两端来回取数，用的都是同一条 n₁d₁ = n₂d₂。

工程应用：切削速度与许用线速度

车床加工时，工件旋转、刀具只进给——「切削速度」就是工件表面相对刀具的线速度 v = πdn/60（d 是工件直径）。材料手册给定许用切削速度（如高速钢刀具切碳钢约 30~40 m/s 量级），工人据此反选转速：工件越粗、转速越低，保持 v 不超限。砂轮、锯片同理：出厂标注「许用线速度 ≤ 50 m/s」之类的红线，超速使用时 a_n = v²/r 带来的离心应力按 v² 攀升，碎裂风险陡增——例题 8 的 1176g 正是这类计算的日常版本。

把同一笔账推到极限设备：实验室离心机以 15,000 r/min 旋转、样品管半径 0.1 m，a_n = rω² = 0.1×1571² ≈ 2.5×10⁵ m/s²——约 2.5 万 g，这就是「离心分离」的暴力来源；家用 3.5 英寸硬盘以 7200 r/min 旋转、盘片外缘 r ≈ 0.044 m，线速度约 33 m/s、向心加速度约 2550 g——盘片被绷得极紧，磁头必须悬浮在纳米级高度掠过这个高速外缘。叶尖速度还有一条「隐形天花板」：直升机旋翼叶尖不能持续逼近声速（约 340 m/s），否则叶尖出现激波、升力崩塌、噪声陡增——于是大旋翼配低转速、小旋翼配高转速，在同一条 v = rω 红线下做产品级取舍。公式一行，取舍万千。

把切削速度公式倒过来用，就是加工现场的「换挡」逻辑：加工直径 80 mm 的棒料、许用切削速度取 40 m/s 量级时，主轴转速 n = 60v/(πd) = 60×40/(π×0.08) ≈ 9550 r/min；棒料直径翻到 160 mm，转速立刻降到约 4775 r/min——直径翻倍、转速减半，全程死守 v = πdn/60。数控机床的「恒线速切削」功能，就是让主轴随工件半径实时变速，把这条红线焊死在每一圈上。

辨析：同一轮、不同轮，两套比较法则

①同一轮上比两点：ω、α 相同，一切线量差由 r 决定——v、a_τ、a_n 都与 r 成正比（a_n = rω² 对固定 ω 也与 r 成正比）。②同一条带上比两轮：线速度 v 相同，角速度与半径成反比（ω = v/r），大轮慢转小轮快转。③别拿直径当半径——「直径 400 mm 的轮缘速度」是 v = 0.2ω，写成 0.4ω 直接翻倍出错。三种场景各有一条「不变量」：同轮不变量是 ω，同带不变量是 v，先找不变量，再套比例。

量纲自检：三行公式的护身符

v = rω：m × rad/s = m/s ✓（rad 无量纲）；a_τ = rα：m × rad/s² = m/s² ✓；a_n = rω²：m × (rad/s)² = m/s² ✓。运算中随手查一次量纲，能把九成单位事故拦在半路——尤其是「n 忘换算」「直径没除 2」这两类高发事故。比较法则收进一张表：

本章的三个公式目前是「标量版」——速度、加速度的方向靠口诀补足（切线方向、指向转轴）。第 10 章会给它们戴上矢量身份（v = ω × r），届时「谁乘谁、乘出来朝哪」由叉乘规则自动回答。从吊扇到离心机，同一行公式覆盖四个数量级的加速度——这就是 v = rω、a_n = rω² 作为「母公式」的统治力。

最后把本章出现过的数字排成一列「量级谱」，建立工程手感：家用吊扇（n = 300 r/min、r = 0.6 m）叶尖约 18.8 m/s、向心约 592 m/s²（≈60g）；台式风扇（n = 1200 r/min、r = 0.15 m）叶尖同样约 18.8 m/s——转速四倍、半径四分之一，v = rω 恰好打平，但 a_n = rω² 却相差四倍（约 2370 m/s² ≈ 242g）——「同速不同载」，正说明 v 与 a_n 考核的是两件事；汽车以 60 km/h 行驶时车轮约 490 r/min；砂轮轮缘 38 m/s；硬盘外缘 33 m/s；实验室离心机 2.5 万 g。

读谱的诀窍是盯住「谁被换掉」：换大半径，v 与 a_n 同步线性放大；换高转速，v 线性放大而 a_n 按平方跳升——速度翻一倍、过载翻两番。这条「平方律」在本章反复现身，也是全书安全设计的口头禅。

带着这三行标量公式进下一章，正好够用。